「確率」について

　国立 九州工業大学 2011年 第4問

図のような番号のついたマス目と駒とサイコロを使って，以下に示す規則にしたがうゲームを考える．
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\hline
\end{tabular}
\end{center}
\begin{itemize}
駒は最初0番のマス目に置く．
サイコロを投げ，出た目の数だけ駒を10番のマス目に向かって進める．
駒がちょうど10番のマス目に止まればゴールとする．
ただし，10番のマス目を超える場合は，その分だけ10番のマス目から0番のマス目側に戻る．
・・・

　国立 琉球大学 2011年 第3問

1から4までの番号を1つずつ書いた4枚のカードがある．この中から1枚を抜き取り，番号を記録してもとに戻す．これをn回繰り返したとき，記録されたn個の数の最大公約数をXとする．ただし，nは2以上の自然数とする．次の問いに答えよ．
(1)X=3となる確率とX=4となる確率をnを用いて表せ．
(2)X=2となる確率をnを用いて表せ．
(3)Xの期待値をnを用いて表せ．

　国立 宇都宮大学 2011年 第1問

座標平面のx軸上を動く点Pとy軸上を動く点Qに対して次の操作を行う．\\
「大小2つのさいころを同時に投げて，
\begin{itemize}
点Pを大きいさいころの目が奇数ならば+1，偶数ならば+2動かす
点Qを小さいさいころの目が奇数ならば+1，偶数ならば+2動かす」
\end{itemize}
点Pと点Qは原点を出発点とするとき，座標平面上にできる三角形OPQについて，次の問いに答えよ．
(1)この操作を2回続けたとき，△OPQが二等辺三・・・

　国立 新潟大学 2011年 第2問

数直線上の動点Aがはじめ原点にある．動点Aは1秒ごとに数直線上を正の向きまたは負の向きにそれぞれ1/2の確率で指定された長さを移動するものとする．n秒後に動点Aが原点に戻る確率をpnとする．ただし，nは自然数とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)動点Aが1秒ごとに正の向きに1または負の向きに1移動するとき，p1,p2を求めよ．
(2)動点Aが1秒ごとに正の向きに1または負の向きに1移動するとき，pnを求めよ．
(3)動点Aが1秒ごとに正の向きに3または負の向きに1移動すると・・・

　国立 茨城大学 2011年 第2問

水戸黄門，助さん、格さん．弥七，お銀，八兵衛の6人が左から右へこの順番で1列に並んで座っている．6人が席を入れ換える．どの並びかたも同様の確からしさで起こるものとする．このとき以下となる確率を求めよ．
(1)助さんと格さんが両端に座る．
(2)水戸黄門とお銀が隣どうしに座る．
(3)最初と同じ席に座る人がちょうど3人．
(4)最初と同じ席に座る人がいない．

　国立 茨城大学 2011年 第3問

1個のさいころを続けて4回投げて，出た目の数を順にa,b,c,dとする．このとき，座標平面上の点P1，P2，P3，P4を手順1から手順4で定める．
手順1．原点Oからx軸の正の向きにaだけ移動した点をP1とする．
手順2．点P1からy軸の正の向きにbだけ移動した点をP2とする．
手順3．点P2からx軸の負の向きにcだけ移動した点をP3とする．
手順4．点P3からy軸の負の向きにdだけ移動した点をP4とする．
以下の各問に答えよ．
\begi・・・

　国立 山形大学 2011年 第2問

袋の中に5個の玉が入っている．それらは，0と書かれた玉が2個，1と書かれた玉，-1と書かれた玉，2と書かれた玉がそれぞれ1個ずつである．この袋の中から3個の玉を取り出す．取り出した3個の玉に書かれた数字の和をmとする．次に，袋の中に残った2個の玉に書かれた数字の積をnとする．このように定義されたmとnのもとで，2次関数
f(x)=x2-mx+n
を考える．このとき，次の問に答えよ．
(1)mのとり得る値をすべて求めよ．
(2)mとnのとり得る組合せ(m,n)をすべて求めよ．
\mon・・・

　国立 山形大学 2011年 第2問

袋の中に5個の玉が入っている．それらは，0と書かれた玉が2個，1と書かれた玉，-1と書かれた玉，2と書かれた玉がそれぞれ1個ずつである．この袋の中から3個の玉を取り出す．取り出した3個の玉に書かれた数字の和をmとする．次に，袋の中に残った2個の玉に書かれた数字の積をnとする．このように定義されたmとnのもとで，2次関数
f(x)=x2-mx+n
を考える．このとき，次の問に答えよ．
(1)mのとり得る値をすべて求めよ．
(2)mとnのとり得る組合せ(m,n)をすべて求めよ．
\mon・・・

　国立 福井大学 2011年 第1問

1から6の目の出る確率がそれぞれ下の表のようになっているさいころがあるとする．このさいころの出る目の期待値が15/4であるとき，以下の問いに答えよ．
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
さいころの目&\hspace{-3.5mm}&1&2&3&4&5&6\\hline
確率&\hspace{-3.5mm}&x&y&x&x&x&y\\hline
\end{tabular}
\end{center}
(1)x,yの値を求めよ．
(2)このさいころを5回投げるとき，3回以上6の目が出る確率を求めよ．
(3)この・・・

　国立 新潟大学 2011年 第2問

数直線上の動点Aがはじめ原点にある．動点Aは1秒ごとに数直線上を正の向きまたは負の向きにそれぞれ1/2の確率で指定された長さを移動するものとする．n秒後に動点Aが原点に戻る確率をpnとする．ただし，nは自然数とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)動点Aが1秒ごとに正の向きに1または負の向きに1移動するとき，p1,p2,p3,p4を求めよ．
(2)動点Aが1秒ごとに正の向きに2または負の向きに1移動するとき，p6を求めよ．