「確率」について

　国立 福岡教育大学 2011年 第2問

次の問いに答えよ．
(1)数列{an}において，anは小数第1位から小数第n位までの数字が0で小数第(n+1)位から小数第2n位までの数字が9であり，小数第(2n+1)位以降の数字が0である実数とする．ただし，0＜an＜1(n=1,2,3,・・・)とする．また，数列{bn}を，bn=10nan(n=1,2,3,・・・)で定める．
(i)b1,b2,b3を求め，数列{bn}の一般項を求めよ．
(ii)sn=Σ_{k=1}nakとおく．snを求め・・・

　国立 滋賀医科大学 2011年 第4問

円卓の周りに並べられたn席の座席にm人の人が座るとき，どの二人も隣り合わない確率をP(n,m)とする．ただし2≦m≦n/2とし，どの空席も同じ確率で選ぶものとする．
(1)P(n,2)をnを用いて表せ．
(2)P(n,m)をn,mを用いて表せ．
(3)\lim_{m→∞}P(m2,m)を求めよ．

　国立 宮城教育大学 2011年 第3問

nを1以上の整数とする．k=1,2,・・・,n,n+1に対して，xy平面上で，点(0,k)を通りx軸に平行な直線をℓkとし，点(k,0)を通りy軸に平行な直線をmkとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)直線
ℓ1,ℓ2,・・・,ℓn,ℓ_{n+1}
から相異なる2本を選び，直線
m1,m2,・・・,mn,m_{n+1}
から相異なる2本を選ぶと長方形が1つできる．こうしてできる長方形の総数を求めよ．ただし，合同であっても位置が違う長方形は異なるものとする．
(2)(1)で考え・・・

　国立 宮城教育大学 2011年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)tanα=a,tanβ=b(0＜α＜π/2,0＜β＜π/2)のとき，cos(2α+β)をa,bを用いて表せ．
(2)1から9までの異なる整数が1つずつ書かれている9枚のカードがある．この中から4枚のカードを同時に取り出すとき，その4つの整数の和が奇数になる確率を求めよ．

　国立 愛媛大学 2011年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)関数y=x2-3x+7-3|x-2|のグラフをかけ．
(2)方程式log5x-\frac{4}{log5x}+\frac{log5x3}{log5x}=0を解け．
(3)a＞0とする．関数f(t)=t(a-t2)(0＜t＜√a)の最大値が2であるとき，aの値を求めよ．
(4)正四面体の各面に0,1,2,3の数字が1つずつ書かれているさいころがある．このさいころを投げたとき，各面が底面になる確率は等しいものとする．このようなさいころを2つ同時に投げ，おのおののさいころの底面に書かれている数の積を・・・

　国立 鳴門教育大学 2011年 第3問

数直線上の点Pは，さいころを投げて出た目が偶数であれば，正の方向に1だけ進み，奇数であれば負の方向に1だけ進む．いま，点Pは原点にある．
(1)さいころを8回投げたとき，点Pが原点にある確率を求めよ．
(2)さいころを8回投げて，点Pが初めて原点に戻ってくる確率を求めよ．
(3)さいころを8回投げて，点Pが原点に戻り，しかも戻ってくるのが2度目である確率を求めよ．

　国立 東京海洋大学 2011年 第4問

表と裏が同じ確率1/2で出る2つの硬貨A，Bがある．xy平面上の点Pがこの2つの硬貨A，Bを同時に投げた結果によって移動する．点Pは，硬貨Aを投げて表が出たらx軸方向に+1移動し，裏が出たらx軸方向に-1移動する．また，硬貨Bを投げて表が出たらy軸方向に+1移動し，裏が出たらy軸方向に-1移動する．点Pは最初に原点にあるものとし，このような操作をくり返すとき，次の問に答えよ．
(1)点Pが・・・

　私立 早稲田大学 2011年 第1問

3個の赤球と4個の白球が入った箱がある．この箱から1回に1つずつランダムに球を取り出すことを繰り返し，k回目に初めて赤球を取り出したときに終了する．ただし，取り出した球は箱に戻さない．
(1)k=3となる確率は\frac{[ア]}{35}である．
(2)kの期待値は[イ]である．

　私立 早稲田大学 2011年 第3問

下図のように9個の点A，B1，B2，B3，B4，C1，C2，C3，C4とそれらを結ぶ16本の線分からなる図形がある．この図形上にある物体Uは，毎秒ひとつの点から線分で結ばれている別の点へ移動する．ただしUは線分で結ばれているどの点にも等確率で移動するとする．最初に点Aにあった物体Uが，n秒後に点Aにある確率をanとすると，a0=1，a1=0である．このときan(n≧2)を求めよ．
（プレビューでは図は省略します）

　私立 早稲田大学 2011年 第1問

次の各問に答えよ．
(1)ある工場の製品が50個あり，その中に不良品が2個だけ含まれている．このとき次の問いに答えよ．
(2)この50個の製品の中から5個を同時に取り出したとき，少なくとも1個の不良品が含まれる確率は[ア]である．
(3)この50個の製品の中から同時にいくつかの製品を取り出したとき，1個以上の不良品が含まれる確率を1/2より大きくなるようにしたい．このときに，取り出す製品の個数は少なくとも[イ]個でなければならない．
\en・・・