「確率」について

　国立 東北大学 2010年 第3問

数直線上を動く点Pがある．裏表の出る確率が等しい硬貨を2枚投げて，2枚とも表が出たらPは正の向きに1だけ移動し，2枚とも裏が出たらPは負の方向に1だけ移動し，それ以外のときはその位置にとどまるものとする．Pが原点Oを出発点として，このような試行をn回繰り返して到着した位置をSnとする．以下の問いに答えよ．
(1)S2=-1となる確率を求めよ．
(2)S3=1となる確率を求めよ．
(3)試行をn回繰り返して出た表の総数をiとするとき，Snを求めよ．
(4)kを整数とするとき，Sn=kとなる確率を・・・

　国立 東北大学 2010年 第3問

1,2,3,4の数字が1つずつ書かれた4枚のカードを用いて，次の手順で5桁の整数をつくる．まず1枚を取り出して現れた数字を1の位とする．取り出した1枚を元に戻し，4枚のカードをよく混ぜて，再び1枚を取り出して現れた数字を10の位とする．このような操作を5回繰り返して，5桁の整数をつくる．得られた整数をXとするとき，以下の問いに答えよ．
(1)Xに数字1がちょうど2回現れる確率を求めよ．
(2)Xに数字1と数字2がちょうど1回ずつ現れる確率を求めよ．
(3)Xにちょうど2・・・

　国立 大阪大学 2010年 第3問

次の問いに答えよ．
(1)不等式
(|x|-2)2+(|y|-2)2≦1
の表す領域をxy平面上に図示せよ．
(2)1個のさいころを4回投げ，n回目(n=1,2,3,4)に出た目の数をanとする．このとき
(x,y)=(a1-a2,a3-a4)
が(1)の領域に含まれる確率を求めよ．

　国立 北海道大学 2010年 第5問

2本の当たりくじを含む102本のくじを，1回に1本ずつ，くじがなくなるまで引き続けることにする．
(1)n回目に1本目の当たりくじが出る確率を求めよ．
(2)A，B，Cの3人が，A，B，C，A，B，C，A，・・・の順に，このくじ引きを行うとする．1本目の当たりくじをAが引く確率を求めよ．BとCについても，1本目の当たりくじを引く確率を求めよ．

　国立 広島大学 2010年 第4問

nは2以上の自然数とする．袋の中に1からnまでの数字が1つずつ書かれたn個の玉が入っている．この袋から無作為に玉を1個取り出し，それに書かれている数を自分の得点としたのち，取り出した玉を袋に戻す．この試行をA，B，Cの3人が順に行い，3人の中で最大の得点の人を勝者とする．たとえば，A，B，Cの得点がそれぞれ4,2,4のときはAとCの2人が勝者であり，3人とも同じ得点のときはA，B，Cの3人とも勝者である．勝者がk人(k=1,2,3)である確率をPn(k)とおくとき，次の問いに答えよ．
(1)勝者が3人で・・・

　国立 広島大学 2010年 第4問

nは2以上の自然数とする．袋の中に1からnまでの数字が1つずつ書かれたn個の玉が入っている．この袋から無作為に玉を1個取り出し，それに書かれている数を自分の得点としたのち，取り出した玉を袋に戻す．この試行をA，B，Cの3人が順に行い，3人の中で最大の得点の人を勝者とする．たとえば，A，B，Cの得点がそれぞれ4,2,4のときはAとCの2人が勝者であり，3人とも同じ得点のときはA，B，Cの3人とも勝者である．勝者がk人(k=1,2,3)である確率をPn(k)とおくとき，次の問いに答えよ．
(1)勝者が3人で・・・

　国立 東京工業大学 2010年 第3問

1からnまでの数字がもれなく一つずつ書かれたn枚のカードの束から同時に2枚のカードを引く．このとき，引いたカードの数字のうち小さいほうが3の倍数である確率をp(n)とする．
(1)p(8)を求めよ．
(2)正の整数kに対し，p(3k+2)をkで表せ．

　国立 名古屋大学 2010年 第3問

はじめに，Aが赤玉を1個，Bが白玉を1個，Cが青玉を1個持っている．表裏の出る確率がそれぞれ1/2の硬貨を投げ，表が出ればAとBの玉を交換し，裏が出ればBとCの玉を交換する，という操作を考える．この操作をn回(n=1,2,3,・・・)くり返した後にA，B，Cが赤玉を持っている確率をそれぞれan,bn,cnとおく．
(1)a1,b1,c1,a2,b2,c2を求めよ．
(2)a_{n+1},b_{n+1},c_{n+1}をan,bn,cnで表せ．
(3)an,bn,cnを求めよ．

　国立 横浜国立大学 2010年 第3問

xy平面上の点Aを次のルール(*)に従って動かす試行を繰り返す．
(*){
\begin{array}{l}
1　個のさいころを投げ，　\\
(　A　)\;　1または2の目が出たとき，　x　軸の正の方向に1動かす．　\\
(　B　)\;　3または4の目が出たとき，　y　軸の正の方向に1動かす．　\\
(　C　)\;　5または6の目が出たとき，動かさない．　
\end{array}
.
Aは始め原点Oにある．直線x+y=3をℓとして，次の問いに答えよ．
(1)5回の試行後，Aが(2,1)にある確・・・

　国立 横浜国立大学 2010年 第2問

1個のいびつなさいころがある．1,2,3,4の目が出る確率はそれぞれp/2であり，5,6の目が出る確率はそれぞれ\frac{1-2p}{2}である．ただし，0＜p＜1/2とする．このさいころを投げて，xy平面上の点Qを次のように動かす．
\mon[(i)]1または2の目が出たときには，Qをx軸の正の方向に1だけ動かす．
\mon[(ii)]3または4の目が出たときには，Qをy軸の正の方向に1だけ動かす．
\mon[(iii)]5または6の目が出たときには，Qを動かさない．
\end{enume・・・