「確率」について

　国立 福井大学 2010年 第2問

表の出る確率がp，裏の出る確率が1-pのコインがある．このコインを投げ，その結果により，駒が2点A，Bの間を移動し，ポイントを獲得することを繰り返す次のようなゲームを行う．
ルールa)駒はゲームを始めるとき，点Aにいる．
ルールb)駒はコイン投げで表が出ればそのときいる点にとどまり，裏が出ればもう一方の点に移動する．
ルールc)k回目のコイン投げの結果，駒が点Aにいるときは2kポイント新たに獲得し，点Bにいるときは1ポイント新たに獲得する．(k=1,2,3,・・・)
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　国立 宮崎大学 2010年 第2問

袋の中に1と書かれた球がn個，2と書かれた球が2個，3と書かれた球が1個，4と書かれた球が1個，合計n+4個入っている．ただし，nは2以上の自然数とする．この袋の中の球をよくかきまぜていくつかの球を取り出すとき，次の各問に答えよ．
(1)2個の球を取り出すとき，取り出した球の中に，1と書かれた球が少なくとも1個含まれる確率を，nを用いて表せ．
(2)2個の球を取り出すとき，取り出した球に書かれている数の合計の期待値を，nを用いて表せ．
(3)3個の球を取り出すとき，取り出した球に書かれている数の合計・・・

　国立 福井大学 2010年 第1問

座標平面上に4点O(0,0)，A(4,0)，B(4,4)，C(0,4)をとり，正方形OABCを考える．点Bを出発点とする2つの動点P，Qが，次の規則に従って動くものとする．
1枚のコインを投げ，
表が出たときには，点Pは辺AB上を点Aの方向に1進み，点Qは動かない．
裏が出たときには，点Qは辺BC上を点Cの方向に1進み，点Pは動かない．
この試行を4回繰り返し，その結果できる三角形OPQの面積を得点とするゲームを行う．以下の問いに答えよ．
(1)ゲームの終了時に，点Pの・・・

　国立 熊本大学 2010年 第3問

赤球，白球，黒球，青球が各1個ずつ入っている袋が3つある．各袋から球を1個ずつ取り出す．以下の問いに答えよ．
(1)取り出した球の色が2種類となる確率を求めよ．
(2)取り出した球の色の数の期待値を求めよ．

　国立 山口大学 2010年 第4問

2人の生徒A，Bが先生1人を交えて次のようなゲームを行う．
{\bfゲーム}：1から5までの番号が1枚に1つずつ書かれた5枚のカードの中から先生が生徒に2枚ずつカードを配る．残った1枚は先生が持つ．各生徒の勝敗は配られた2枚のカードの番号と先生が持つカードの番号の大小で決まる．2枚とも大きければ生徒の勝ち．1枚が大きく1枚が小さければ引き分け．2枚とも小さければその生徒の負けとなる．
例えば，Aに3と4のカードが配られ，B・・・

　国立 京都工芸繊維大学 2010年 第2問

nは2以上の自然数とする．1つの袋と1つの箱がある．袋には白玉3個と赤玉2個が入っており，箱には何も入っていない．次の操作を考える．
袋から玉を1個取り出し，白玉なら袋に戻し，赤玉なら箱に入れる．
この操作をn回繰り返す．n回目の操作の後，箱に入っている赤玉の個数をXとする．
(1)kをn以下の自然数とする．k回目の操作では赤玉を取り出しk回目以外のn-1回の操作では白玉を取り出す確率をnとkを用いて表せ．次に，X=1である確率pnを求めよ．
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　国立 福井大学 2010年 第2問

表の出る確率がp，裏の出る確率が1-pのコインがある．このコインを投げ，その結果により，駒が2点A，Bの間を移動し，ポイントを獲得することを繰り返す次のようなゲームを行う．
ルールa)駒はゲームを始めるとき点Aにいる．
ルールb)駒はコイン投げで表が出ればそのときいる点にとどまり，裏が出ればもう一方の点に移動する．
ルールc)k回目のコイン投げの結果，駒が点Aにいるときは3kポイント新たに獲得し，点Bにいるときはkポイント新たに獲得する．(k=1,2,3,・・・)
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　国立 山口大学 2010年 第4問

2人の生徒A，Bが先生1人を交えて次のようなゲームを行う．
{\bfゲーム}：1から5までの番号が1枚に1つずつ書かれた5枚のカードの中から先生が生徒に2枚ずつカードを配る．残った1枚は先生が持つ．各生徒の勝敗は配られた2枚のカードの番号と先生が持つカードの番号の大小で決まる．2枚とも大きければ生徒の勝ち．1枚が大きく1枚が小さければ引き分け．2枚とも小さければその生徒の負けとなる．
例えば，Aに3と4のカードが配られ，B・・・

　国立 お茶の水女子大学 2010年 第1問

はじめにA=1，B=-1とする．100円硬貨と500円硬貨をそれぞれ投げ，以下のように値を変えていくものとする．
100円硬貨が表であればAに1を加え，裏であればAから1を引く．
500円硬貨が表であればBに1を加え，裏であればBから1を引く．
なお，100円硬貨と500円硬貨のおのおのについて，表の出る確率と裏の出る確率は等しいものとする．
(1)はじめの状態から100円硬貨と500円硬貨をそれぞれ5回投げたときA=B=0となる確率を求めよ．
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　国立 お茶の水女子大学 2010年 第1問

はじめにA=1，B=-1とする．100円硬貨と500円硬貨をそれぞれ投げ，以下のように値を変えていくものとする．
100円硬貨が表であればAに1を加え，裏であればAから1を引く．
500円硬貨が表であればBに1を加え，裏であればBから1を引く．
なお，100円硬貨と500円硬貨のおのおのについて，表の出る確率と裏の出る確率は等しいものとする．
(1)はじめの状態から100円硬貨と500円硬貨をそれぞれ5回投げたときA=B=0となる確率を求めよ．
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