「示せ」について

　国立 東京大学 2015年 第4問

数列{pn}を次のように定める．
p1=1,p2=2,p_{n+2}=\frac{p_{n+1}2+1}{pn}(n=1,2,3,・・・)
(1)\frac{p_{n+1}2+pn2+1}{p_{n+1}pn}がnによらないことを示せ．
(2)すべてのn=2,3,4,・・・に対し，p_{n+1}+p_{n-1}をpnのみを使って表せ．
(3)数列{qn}を次のように定める．
q1=1,q2=1,q_{n+2}=q_{n+1}+qn(n=1,2,3,・・・)
すべてのn=1,2,3,・・・に対し，pn=q_{2n-1}を示せ．

　国立 東京大学 2015年 第6問

nを正の整数とする．以下の問いに答えよ．
(1)関数g(x)を次のように定める．
g(x)={\begin{array}{ll}
\frac{cos(πx)+1}{2}&(|x|≦1　のとき　)\
0&(|x|＞1　のとき　)
\end{array}.
f(x)を連続な関数とし，p,qを実数とする．|x|≦1/nをみたすxに対してp≦f(x)≦qが成り立つとき，次の不等式を示せ．
p≦n∫_{-1}1g(nx)f(x)dx≦q
(2)関数h(x)を次のように定め・・・

　国立 埼玉大学 2015年 第2問

四面体ABCDがある．線分AB，BC，CD，DA上にそれぞれ点P，Q，R，Sがある．点P，Q，R，Sは同一平面上にあり，四面体のどの頂点とも異なるとする．このとき下記の設問に答えよ．
(1)PQとRSが平行であるとき，等式
AP/PB・BQ/QC・CR/RD・DS/SA=1
が成り立つことを示せ．
(2)PQと・・・

　国立 北海道大学 2015年 第3問

平面において，一直線上にない3点O，A，Bがある．Oを通り直線OAと垂直な直線上にOと異なる点Pをとる．Oを通り直線OBと垂直な直線上にOと異なる点Qをとる．ベクトルベクトルOP+ベクトルOQはベクトルABに垂直であるとする．
(1)ベクトルOP・ベクトルOB=ベクトルOQ・ベクトルOAを示せ．
(2)ベクトルベクトルOA，ベクトルOBのなす角をαとする．ただし，0＜α＜π/2とする．このと・・・

　国立 京都大学 2015年 第3問

次の問いに答えよ．
(1)aを実数とするとき，(a,0)を通り，y=ex+1に接する直線がただ1つ存在することを示せ．
(2)a1=1として，n=1,2,・・・について，(an,0)を通り，y=ex+1に接する直線の接点のx座標をa_{n+1}とする．このとき，\lim_{n→∞}(a_{n+1}-an)を求めよ．

　国立 京都大学 2015年 第5問

a,b,c,d,eを正の有理数として整式
f(x)=ax2+bx+c
g(x)=dx+e
を考える．すべての正の整数nに対して\frac{f(n)}{g(n)}は整数であるとする．このとき，f(x)はg(x)で割り切れることを示せ．

　国立 京都大学 2015年 第5問

a,b,c,d,eを正の実数として整式
f(x)=ax2+bx+c
g(x)=dx+e
を考える．すべての正の整数nに対して\frac{f(n)}{g(n)}は整数であるとする．このとき，f(x)はg(x)で割り切れることを示せ．

　国立 大阪大学 2015年 第1問

自然数nに対して関数fn(x)を
fn(x)=\frac{x}{n(1+x)}log(1+x/n)(x≧0)
で定める．以下の問いに答えよ．
(1)∫0nfn(x)dx≦∫01log(1+x)dxを示せ．
(2)数列{In}を
In=∫0nfn(x)dx
で定める．0≦x≦1のときlog(1+x)≦log2であることを用いて数列{In}が収束することを示し，その極限値を求めよ．ただし，\lim_{x→∞}\frac{logx}{x}=0であることは・・・

　国立 大阪大学 2015年 第2問

実数x,yが|x|≦1と|y|≦1を満たすとき，不等式
0≦x2+y2-2x2y2+2xy\sqrt{1-x2}\sqrt{1-y2}≦1
が成り立つことを示せ．

　国立 大阪大学 2015年 第3問

以下の問いに答えよ．
(1)√2と\sqrt[3]{3}が無理数であることを示せ．
(2)p,q,√2p+\sqrt[3]{3}qがすべて有理数であるとする．そのとき，p=q=0であることを示せ．