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数列{pn}を次のように定める.
p1=1,p2=2,p_{n+2}=\frac{p_{n+1}2+1}{pn}(n=1,2,3,・・・)
(1)\frac{p_{n+1}2+pn2+1}{p_{n+1}pn}がnによらないことを示せ.
(2)すべてのn=2,3,4,・・・に対し,p_{n+1}+p_{n-1}をpnのみを使って表せ.
(3)数列{qn}を次のように定める.
q1=1,q2=1,q_{n+2}=q_{n+1}+qn(n=1,2,3,・・・)
すべてのn=1,2,3,・・・に対し,pn=q_{2n-1}を示せ.
国立 東京大学 2015年 第6問nを正の整数とする.以下の問いに答えよ.
(1)関数g(x)を次のように定める.
g(x)={\begin{array}{ll}
\frac{cos(πx)+1}{2}&(|x|≦1 のとき )\
0&(|x|>1 のとき )
\end{array}.
f(x)を連続な関数とし,p,qを実数とする.|x|≦1/nをみたすxに対してp≦f(x)≦qが成り立つとき,次の不等式を示せ.
p≦n∫_{-1}1g(nx)f(x)dx≦q
(2)関数h(x)を次のように定め・・・
国立 埼玉大学 2015年 第2問四面体ABCDがある.線分AB,BC,CD,DA上にそれぞれ点P,Q,R,Sがある.点P,Q,R,Sは同一平面上にあり,四面体のどの頂点とも異なるとする.このとき下記の設問に答えよ.
(1)PQとRSが平行であるとき,等式
AP/PB・BQ/QC・CR/RD・DS/SA=1
が成り立つことを示せ.
(2)PQと・・・
国立 北海道大学 2015年 第3問平面において,一直線上にない3点O,A,Bがある.Oを通り直線OAと垂直な直線上にOと異なる点Pをとる.Oを通り直線OBと垂直な直線上にOと異なる点Qをとる.ベクトルベクトルOP+ベクトルOQはベクトルABに垂直であるとする.
(1)ベクトルOP・ベクトルOB=ベクトルOQ・ベクトルOAを示せ.
(2)ベクトルベクトルOA,ベクトルOBのなす角をαとする.ただし,0<α<π/2とする.このと・・・
国立 京都大学 2015年 第3問次の問いに答えよ.
(1)aを実数とするとき,(a,0)を通り,y=ex+1に接する直線がただ1つ存在することを示せ.
(2)a1=1として,n=1,2,・・・について,(an,0)を通り,y=ex+1に接する直線の接点のx座標をa_{n+1}とする.このとき,\lim_{n→∞}(a_{n+1}-an)を求めよ.
国立 京都大学 2015年 第5問a,b,c,d,eを正の有理数として整式
f(x)=ax2+bx+c
g(x)=dx+e
を考える.すべての正の整数nに対して\frac{f(n)}{g(n)}は整数であるとする.このとき,f(x)はg(x)で割り切れることを示せ.
国立 京都大学 2015年 第5問a,b,c,d,eを正の実数として整式
f(x)=ax2+bx+c
g(x)=dx+e
を考える.すべての正の整数nに対して\frac{f(n)}{g(n)}は整数であるとする.このとき,f(x)はg(x)で割り切れることを示せ.
国立 大阪大学 2015年 第1問自然数nに対して関数fn(x)を
fn(x)=\frac{x}{n(1+x)}log(1+x/n)(x≧0)
で定める.以下の問いに答えよ.
(1)∫0nfn(x)dx≦∫01log(1+x)dxを示せ.
(2)数列{In}を
In=∫0nfn(x)dx
で定める.0≦x≦1のときlog(1+x)≦log2であることを用いて数列{In}が収束することを示し,その極限値を求めよ.ただし,\lim_{x→∞}\frac{logx}{x}=0であることは・・・
国立 大阪大学 2015年 第2問実数x,yが|x|≦1と|y|≦1を満たすとき,不等式
0≦x2+y2-2x2y2+2xy\sqrt{1-x2}\sqrt{1-y2}≦1
が成り立つことを示せ.
国立 大阪大学 2015年 第3問以下の問いに答えよ.
(1)√2と\sqrt[3]{3}が無理数であることを示せ.
(2)p,q,√2p+\sqrt[3]{3}qがすべて有理数であるとする.そのとき,p=q=0であることを示せ.