「示せ」について

　国立 福井大学 2015年 第5問

2つの関数f(x)=x2+4，g(x)=x2について，以下の問いに答えよ．
(1)曲線y=f(x)上の点P(a,f(a))における接線の方程式を求めよ．
(2)(1)で求めた接線と，曲線y=g(x)との交点をA，Bとする．曲線y=g(x)の，点Aにおける接線と点Bにおける接線との交点をCとする．点Cの座標を求めよ．また，点Cは曲線y=x2-4上にあることを示せ．
(3)直線ABと曲線y=g(x)で囲まれた部分の面積は，aの値によらずに一定であることを示せ．
\end{・・・

　国立 宮城教育大学 2015年 第4問

f(x)=\frac{x}{(2x-1)(x-2)}とする．以下の問に答えよ．
(1)g(x)=2x3-6x+5とする．このとき，-3＜α＜-1かつg(α)=0をみたすαが存在することを示せ．さらに，x＜αではg(x)＜0であり，x＞αではg(x)＞0であることを示せ．
(2)(1)のαを用いて，関数y=f(x)の増減，極値，グラフの凹凸を調べ，そのグラフの概形をかけ．

　国立 宮城教育大学 2015年 第2問

実数p,qに対して，
f(x)=x2+px+q,g(x)=x3-3x
とおく．2次方程式f(x)=0の2つの解をα,βとして，次の問に答えよ．
(1)2次方程式の解と係数の関係を用いて，積g(α)g(β)をp,qを用いて表せ．
(2)g(α)=0またはg(β)=0であるとき，点(p,q)の集合を座標平面上に図示せよ．
(3)g(α)=0またはg(β)=0ならば，αとβは実数であることを示せ．

　国立 茨城大学 2015年 第4問

鋭角三角形ABCについて，点B，Cから対辺に下ろした垂線をそれぞれBD，CEとし，2線分BD，CEの交点をFとするとき，次の各問に答えよ．
(1)BE・BA+CD・CA=BF・BD+CF・CEを示せ．
(2)BC2=BE・BA+CD・CAを示せ．

　国立 滋賀医科大学 2015年 第2問

a＜bとする．放物線y=x2上の2点A(a,a2)，B(b,b2)におけるそれぞれの接線の交点をCとおく．∠ACB={60}°であるとする．
(1)a+b=0のとき，aを求めよ．
(2)ある正の実数kを用いてベクトルCA=-k(1,2a)，ベクトルCB=k(1,2b)と表されることを示せ．
(3)a＜-\frac{√3}{6},b＞\frac{√3}{6}を示せ．
(4)bをaを用いて表せ．

　国立 滋賀医科大学 2015年 第3問

aを0＜a＜π/2をみたす定数とし，方程式
x(1-cosx)=sin(x+a)
を考える．
(1)nを正の整数とするとき，上の方程式は2nπ＜x＜2nπ+π/2の範囲でただ1つの解をもつことを示せ．
(2)(1)の解をxnとおく．極限\lim_{n→∞}(xn-2nπ)を求めよ．
(3)極限\lim_{n→∞}√n(xn-2nπ)を求めよ．ただし，\lim_{x→0}\frac{sinx}{x}=1を用いてよい．

　国立 三重大学 2015年 第3問

関数f(x)=e^{√x-1}-√x(x≧0)を考える．以下の問いに答えよ．
(1)f(x)≧0を示せ．また等号が成立するようなxの値を求めよ．
(2)曲線y=f(x)とx軸およびy軸で囲まれた図形をx軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を求めよ．

　国立 三重大学 2015年 第3問

関数f(x)=e^{√x-1}-√x(x≧0)を考える．以下の問いに答えよ．
(1)f(x)≧0を示せ．また等号が成立するようなxの値を求めよ．
(2)曲線y=f(x)とx軸およびy軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

　国立 千葉大学 2015年 第4問

0以上の整数nに対して，整式Tn(x)を
T0(x)=1,T1(x)=x,Tn(x)=2xT_{n-1}(x)-T_{n-2}(x)(n=2,3,4,・・・)
で定める．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)0以上の任意の整数nに対して
cos(nθ)=Tn(cosθ)
となることを示せ．
(2)定積分
∫_{-1}1Tn(x)dx
の値を求めよ．

　国立 千葉大学 2015年 第5問

関数f(x)=|x+2sin(x+a)+b|の0≦x≦2πでの最大値と最小値の差は，定数a,bによらず常にπ以上で，かつ(\frac{4π}{3}+2√3)以下であることを示せ．