「示せ」について

　国立 金沢大学 2015年 第2問

a,bは定数で，ab＞0とする．放物線C1:y=ax2+b上の点P(t,at2+b)における接線をℓとし，放物線C2:y=ax2とℓで囲まれた図形の面積をSとする．次の問いに答えよ．
(1)ℓの方程式を求めよ．
(2)ℓとC2のすべての交点のx座標を求めよ．
(3)点PがC1上を動くとき，Sは点Pの位置によらず一定であることを示せ．

　国立 岡山大学 2015年 第2問

座標空間内に3点A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)をとり，2つのベクトルベクトルAPとベクトルBP+ベクトルCPの内積が0になるような点P(x,y,z)の集合をSとする．3点A，B，Cを通る平面をαとするとき，次の問いに答えよ．
(1)集合Sは球面であることを示し，その中心Qの座標と半径rの値を求めよ．
(2)原点Oから最も遠い距離にあるS上の点の座標を求めよ．
(3)(1)で求めた点Qは，平面α上に・・・

　国立 東北大学 2015年 第2問

xy平面において，3次関数y=x3-xのグラフをCとし，不等式
x3-x＞y＞-x
の表す領域をDとする．また，PをDの点とする．
(1)Pを通りCに接する直線が3本存在することを示せ．
(2)Pを通りCに接する3本の直線の傾きの和と積がともに0となるようなPの座標を求めよ．

　国立 東北大学 2015年 第4問

a＞0を実数とする．n=1,2,3,・・・に対し，座標平面の3点
(2nπ,0),((2n+1/2)π,\frac{1}{{{(2n+1/2)π}}a}),((2n+1)π,0)
を頂点とする三角形の面積をAnとし，
Bn=∫_{2nπ}^{(2n+1)π}\frac{sinx}{xa}dx,\qquadCn=∫_{2nπ}^{(2n+1)π}\frac{sin2x}{xa}dx
とおく．
(1)n=1,2,3,・・・に対し，次の不等式が成り立つことを示せ．
\frac{2}{・・・

　国立 九州大学 2015年 第5問

以下の問いに答えよ．
(1)nが正の偶数のとき，2n-1は3の倍数であることを示せ．
(2)nを自然数とする．2n+1と2n-1は互いに素であることを示せ．
(3)p,qを異なる素数とする．2^{p-1}-1=pq2を満たすp,qの組をすべて求めよ．

　国立 九州大学 2015年 第4問

以下の問いに答えよ．
(1)nが正の偶数のとき，2n-1は3の倍数であることを示せ．
(2)pを素数とし，kを0以上の整数とする．2^{p-1}-1=pkを満たすp,kの組をすべて求めよ．

　国立 新潟大学 2015年 第2問

△ABCの外心をOとし，ベクトルOA=ベクトルa，ベクトルOB=ベクトルb，ベクトルOC=ベクトルcとする．ベクトルa，ベクトルb，ベクトルcは
|ベクトルa|=|ベクトルb|=|ベクトルc|=5,4ベクトルa+3ベクトルb+5ベクトルc=ベクトル0
をみたすとする．次の問いに答えよ．
(1)100+3ベクトルa・ベクトルb+5ベクトルc・ベクトルa=0が成り立つことを示せ．
(2)内積ベクトルa・ベクトルb，ベクトルb・ベクトルcおよびベクトルc・\v・・・

　国立 新潟大学 2015年 第2問

△ABCの外心をO，重心をGとする．ベクトルOA=ベクトルa，ベクトルOB=ベクトルb，ベクトルOC=ベクトルcとし，
|ベクトルa|=|ベクトルb|=|ベクトルc|=5,4ベクトルAG+3ベクトルBG+5ベクトルCG=12ベクトルOG
をみたすとする．次の問いに答えよ．
(1)4ベクトルa+3ベクトルb+5ベクトルc=ベクトル0を示せ．
(2)内積ベクトルa・ベクトルb，ベクトルb・ベクトルcおよびベクトルc・ベクトルaを求めよ．
(3)|ベクトルOG|の値を求めよ．
\end・・・

　国立 新潟大学 2015年 第5問

自然数nに対して，関数fn(x)を次のように定める．
\begin{array}{ll}
f1(x)=1-\frac{x2}{2}\phantom{\frac{[]}{2}}&\
fn(x)=∫0xf_{n-1}(t)dt\phantom{\frac{[]}{2}}&(n　が偶数のとき　)\
fn(x)=1-∫0xf_{n-1}(t)dt\phantom{\frac{[]}{2}}&(n　が　3　以上の奇数のとき　)
\end{array}
次の問いに答えよ．ただし必要があれば，0＜x≦1のときx-\frac{x3}{3!}＜sinx＜xが成り立つことを用いてよい．
\mo・・・

　国立 横浜国立大学 2015年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)定積分
∫0^{log3}\frac{dx}{ex+5e^{-x}-2}
を求めよ．
(2)x＞0のとき，不等式
logx≧\frac{5x2-4x-1}{2x(x+2)}
が成り立つことを示せ．