タグ「示せ」の検索結果
(3ページ目:全1084問中21問~30問を表示)
a,bは定数で,ab>0とする.放物線C1:y=ax2+b上の点P(t,at2+b)における接線をℓとし,放物線C2:y=ax2とℓで囲まれた図形の面積をSとする.次の問いに答えよ.
(1)ℓの方程式を求めよ.
(2)ℓとC2のすべての交点のx座標を求めよ.
(3)点PがC1上を動くとき,Sは点Pの位置によらず一定であることを示せ.
国立 岡山大学 2015年 第2問座標空間内に3点A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)をとり,2つのベクトルベクトルAPとベクトルBP+ベクトルCPの内積が0になるような点P(x,y,z)の集合をSとする.3点A,B,Cを通る平面をαとするとき,次の問いに答えよ.
(1)集合Sは球面であることを示し,その中心Qの座標と半径rの値を求めよ.
(2)原点Oから最も遠い距離にあるS上の点の座標を求めよ.
(3)(1)で求めた点Qは,平面α上に・・・
国立 東北大学 2015年 第2問xy平面において,3次関数y=x3-xのグラフをCとし,不等式
x3-x>y>-x
の表す領域をDとする.また,PをDの点とする.
(1)Pを通りCに接する直線が3本存在することを示せ.
(2)Pを通りCに接する3本の直線の傾きの和と積がともに0となるようなPの座標を求めよ.
国立 東北大学 2015年 第4問a>0を実数とする.n=1,2,3,・・・に対し,座標平面の3点
(2nπ,0),((2n+1/2)π,\frac{1}{{{(2n+1/2)π}}a}),((2n+1)π,0)
を頂点とする三角形の面積をAnとし,
Bn=∫_{2nπ}^{(2n+1)π}\frac{sinx}{xa}dx,\qquadCn=∫_{2nπ}^{(2n+1)π}\frac{sin2x}{xa}dx
とおく.
(1)n=1,2,3,・・・に対し,次の不等式が成り立つことを示せ.
\frac{2}{・・・
国立 九州大学 2015年 第5問以下の問いに答えよ.
(1)nが正の偶数のとき,2n-1は3の倍数であることを示せ.
(2)nを自然数とする.2n+1と2n-1は互いに素であることを示せ.
(3)p,qを異なる素数とする.2^{p-1}-1=pq2を満たすp,qの組をすべて求めよ.
国立 九州大学 2015年 第4問以下の問いに答えよ.
(1)nが正の偶数のとき,2n-1は3の倍数であることを示せ.
(2)pを素数とし,kを0以上の整数とする.2^{p-1}-1=pkを満たすp,kの組をすべて求めよ.
国立 新潟大学 2015年 第2問△ABCの外心をOとし,ベクトルOA=ベクトルa,ベクトルOB=ベクトルb,ベクトルOC=ベクトルcとする.ベクトルa,ベクトルb,ベクトルcは
|ベクトルa|=|ベクトルb|=|ベクトルc|=5,4ベクトルa+3ベクトルb+5ベクトルc=ベクトル0
をみたすとする.次の問いに答えよ.
(1)100+3ベクトルa・ベクトルb+5ベクトルc・ベクトルa=0が成り立つことを示せ.
(2)内積ベクトルa・ベクトルb,ベクトルb・ベクトルcおよびベクトルc・\v・・・
国立 新潟大学 2015年 第2問△ABCの外心をO,重心をGとする.ベクトルOA=ベクトルa,ベクトルOB=ベクトルb,ベクトルOC=ベクトルcとし,
|ベクトルa|=|ベクトルb|=|ベクトルc|=5,4ベクトルAG+3ベクトルBG+5ベクトルCG=12ベクトルOG
をみたすとする.次の問いに答えよ.
(1)4ベクトルa+3ベクトルb+5ベクトルc=ベクトル0を示せ.
(2)内積ベクトルa・ベクトルb,ベクトルb・ベクトルcおよびベクトルc・ベクトルaを求めよ.
(3)|ベクトルOG|の値を求めよ.
\end・・・
国立 新潟大学 2015年 第5問自然数nに対して,関数fn(x)を次のように定める.
\begin{array}{ll}
f1(x)=1-\frac{x2}{2}\phantom{\frac{[]}{2}}&\
fn(x)=∫0xf_{n-1}(t)dt\phantom{\frac{[]}{2}}&(n が偶数のとき )\
fn(x)=1-∫0xf_{n-1}(t)dt\phantom{\frac{[]}{2}}&(n が 3 以上の奇数のとき )
\end{array}
次の問いに答えよ.ただし必要があれば,0<x≦1のときx-\frac{x3}{3!}<sinx<xが成り立つことを用いてよい.
\mo・・・
国立 横浜国立大学 2015年 第1問次の問いに答えよ.
(1)定積分
∫0^{log3}\frac{dx}{ex+5e^{-x}-2}
を求めよ.
(2)x>0のとき,不等式
logx≧\frac{5x2-4x-1}{2x(x+2)}
が成り立つことを示せ.