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自然数を2個以上の連続する自然数の和で表すことを考える.たとえば,42は3+4+・・・+9のように2個以上の連続する自然数の和で表せる.次の問いに答えよ.
(1)2020を2個以上の連続する自然数の和で表す表し方をすべて求めよ.
(2)aを0以上の整数とするとき,2aは2個以上の連続する自然数の和で表せないことを示せ.
(3)a,bを自然数とするとき,2a(2b+1)は2個以上の連続する自然数の和で表せることを示せ.
国立 東京工業大学 2015年 第1問数列{an}を
a1=5,a_{n+1}=\frac{4an-9}{an-2}(n=1,2,3,・・・)
で定める.また数列{bn}を
bn=\frac{a1+2a2+・・・+nan}{1+2+・・・+n}(n=1,2,3,・・・)
と定める.
(1)数列{an}の一般項を求めよ.
(2)すべてのnに対して,不等式bn≦3+\frac{4}{n+1}が成り立つことを示せ.
(3)極限値\lim_{n→∞}bnを求めよ.
国立 東京工業大学 2015年 第3問a>0とする.曲線y=e^{-x2}とx軸,y軸,および直線x=aで囲まれた図形を,y軸のまわりに1回転してできる回転体をAとする.
(1)Aの体積Vを求めよ.
(2)点(t,0)(-a≦t≦a)を通りx軸と垂直な平面によるAの切り口の面積をS(t)とするとき,不等式
S(t)≦∫_{-a}ae^{-(s2+t2)}ds
を示せ.
(3)不等式
\sqrt{π(1-e^{-a2})}≦∫_{-a}ae^{-x2}dx
を示せ.
国立 東京工業大学 2015年 第4問xy平面上を運動する点Pの時刻t(t>0)における座標(x,y)が
x=t2cost,y=t2sint
で表されている.原点をOとし,時刻tにおけるPの速度ベクトルをベクトルvとする.
(1)ベクトルOPとベクトルvのなす角をθ(t)とするとき,極限値\lim_{t→∞}θ(t)を求めよ.
(2)ベクトルvがy軸に平行になるようなt(t>0)のうち,最も小さいものをt1,次に小さいものをt2とする.このとき,不等式t2-t1<πを示せ・・・
国立 東京工業大学 2015年 第5問nを相異なる素数p1,p2,・・・,pk(k≧1)の積とする.a,bをnの約数とするとき,a,bの最大公約数をG,最小公倍数をLとし,
f(a,b)=L/G
とする.
(1)f(a,b)がnの約数であることを示せ.
(2)f(a,b)=bならば,a=1であることを示せ.
(3)mを自然数とするとき,mの約数であるような素数の個数をS(m)とする.S(f(a,b))+S(a)+S(b)が偶数であることを示せ.
国立 埼玉大学 2015年 第1問cは正の整数とする.数列a1,a2,a3,・・・はa1=1,a2=cであり,さらに漸化式
a_{n+2}=a_{n+1}+an(n=1,2,3,・・・)
を満たすとする.次の問いに答えよ.
(1)n=1,2,3,・・・に対して,anは正の整数であり,かつ,anとa_{n+1}の最大公約数は1であることを示せ.
(2){(-1)}n(a_{n+1}2-a_{n+2}an)はnによらず一定の値であることを示せ.
(3)c≧2とし,bn=\frac{a_{n+1}}{an}とおくと
{\begin{array}{ll}
b_{n+1}>bn&・・・
国立 埼玉大学 2015年 第1問cは実数とする.数列a1,a2,a3,・・・はa1=1,a2=cであり,さらに漸化式
a_{n+2}=a_{n+1}+an(n=1,2,3,・・・)
を満たすとする.次の問いに答えよ.
(1)a3={a2}2が成り立つようなcの値を求めよ.
(2)cが(1)で求めた値のとき,数列a1,a2,a3,・・・が等比数列であることを数学的帰納法を用いて示せ.
(3)(1)で求めたcの値のうち,\lim_{n→∞}an=0となるものを求めよ.
(4)cが(3)で求めた値のとき,Σ_{・・・
国立 熊本大学 2015年 第2問p,q,rを実数とする.空間内の3点A(1,p,0),B(q,1,1),C(-1,-1,r)が一直線上にあるとき,以下の問いに答えよ.ただし,Oを原点とする.
(1)pは1でも-1でもないことを示せ.
(2)q,rをpを用いて表せ.
(3)p´,q´,r´を実数とし,空間内の3点をA´(1,p´,0),B´(q´,1,1),C´(-1,-1,r´)とする.ベクトル\overrightarrow{OA´},\overrighta・・・
国立 熊本大学 2015年 第2問座標空間内の3点A(1,1,1),B(3,0,1),C(1,2,0)を含む平面をHとする.以下の問いに答えよ.
(1)点P(-3,2,2)はH上の点であることを示せ.
(2)点Q(1,-3,-4)を通る直線がHと直交するとき,その交点の座標を求めよ.
国立 熊本大学 2015年 第2問p,q,rを実数とする.空間内の3点A(1,p,0),B(q,1,1),C(-1,-1,r)が一直線上にあるとき,以下の問いに答えよ.ただし,Oを原点とする.
(1)pは1でも-1でもないことを示せ.
(2)q,rをpを用いて表せ.
(3)p´,q´,r´を実数とし,空間内の3点をA´(1,p´,0),B´(q´,1,1),C´(-1,-1,r´)とする.ベクトル\overrightarrow{OA´},\overrighta・・・