「示せ」について

　国立 香川大学 2015年 第1問

図のような一辺の長さが1の立方体OABC-DEFGにおいて，ベクトルOA=ベクトルa，ベクトルOC=ベクトルc，ベクトルOD=ベクトルdとする．Mを辺OCの中点，R，Sをそれぞれ辺AE，辺GF上の点とする．AR=r，GS=s，∠RMS=θとおくとき，次の問に答えよ．
（プレビューでは図は省略します）
(1)ベクトルMR，ベクトルMSを，それぞれr,s,ベクトルa,ベクトルc,ベクトルdを用いて表せ．
(2)cosθをr,sを用い・・・

　国立 香川大学 2015年 第1問

図のような一辺の長さが1の立方体OABC-DEFGにおいて，ベクトルOA=ベクトルa，ベクトルOC=ベクトルc，ベクトルOD=ベクトルdとする．Mを辺OCの中点，R，Sをそれぞれ辺AE，辺GF上の点とする．AR=r，GS=s，∠RMS=θとおくとき，次の問に答えよ．
（プレビューでは図は省略します）
(1)ベクトルMR，ベクトルMSを，それぞれr,s,ベクトルa,ベクトルc,ベクトルdを用いて表せ．
(2)cosθをr,sを用い・・・

　国立 香川大学 2015年 第3問

数列{an}は，
a1=2,a_{n+1}=\frac{2an+2}{an+2}(n=1,2,3,・・・)
で定められているとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)nが自然数のとき，数学的帰納法を用いて√2＜anを示せ．
(2)nが自然数のとき，a_{n+1}＜anを示せ．
(3)nが自然数のとき，数学的帰納法を用いて
an-√2≦\frac{(2-√2)n}{3^{n-1}}
を示せ．

　国立 香川大学 2015年 第1問

図のような一辺の長さが1の立方体OABC-DEFGにおいて，ベクトルOA=ベクトルa，ベクトルOC=ベクトルc，ベクトルOD=ベクトルdとする．Mを辺OCの中点，R，Sをそれぞれ辺AE，辺GF上の点とする．AR=r，GS=s，∠RMS=θとおくとき，次の問に答えよ．
（プレビューでは図は省略します）
(1)ベクトルMR，ベクトルMSを，それぞれr,s,ベクトルa,ベクトルc,ベクトルdを用いて表せ．
(2)cosθをr,sを用い・・・

　国立 香川大学 2015年 第1問

図のような一辺の長さが1の立方体OABC-DEFGにおいて，ベクトルOA=ベクトルa，ベクトルOC=ベクトルc，ベクトルOD=ベクトルdとする．Mを辺OCの中点，R，Sをそれぞれ辺AE，辺GF上の点とする．AR=r，GS=s，∠RMS=θとおくとき，次の問に答えよ．
（プレビューでは図は省略します）
(1)ベクトルMR，ベクトルMSを，それぞれr,s,ベクトルa,ベクトルc,ベクトルdを用いて表せ．
(2)cosθをr,sを用い・・・

　国立 香川大学 2015年 第3問

数列{an}は，
a1=2,a_{n+1}=\frac{2an+2}{an+2}(n=1,2,3,・・・)
で定められているとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)nが自然数のとき，数学的帰納法を用いて√2＜anを示せ．
(2)nが自然数のとき，a_{n+1}＜anを示せ．
(3)nが自然数のとき，数学的帰納法を用いて
an-√2≦\frac{(2-√2)n}{3^{n-1}}
を示せ．

　国立 香川大学 2015年 第4問

bをb＞2√2を満たす実数とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)f(x)=x+(ex-b)exとするとき，方程式f(x)-a=0が異なる3個の実数解をもつような実数aの範囲を求めよ．
(2)実数aが(1)で求めた範囲にあるとする．このとき，点(a,b)を中心とする円で，曲線y=exと異なる4点で交わるものが存在することを示せ．

　国立 佐賀大学 2015年 第1問

a,bは定数であり，0＜a＜bとする．定積分
I=∫01a^{1-t}btdt
について，次の問に答えよ．
(1)Iを求めよ．
(2)0≦t≦1のとき，
a^{1-t}bt+atb^{1-t}≧2\sqrt{ab}
であることを示せ．また，I＞\sqrt{ab}を示せ．
(3)0＜t＜1とする．x＞1のとき，次の不等式が成り立つことを証明せよ．
xt＜1+t(x-1)
(4)(3)の不等式を利用して，I＜\frac{a+b}{2}を示せ．

　国立 佐賀大学 2015年 第4問

pを素数とするとき，次の問に答えよ．
(1)2つの自然数m,nの最大公約数は1であるとし，x=n/mとおく．pxが有理数であるならば，m=1であることを示せ．
(2)方程式
px=-x2+9x-5
が有理数の解xをもつような組(p,x)をすべて求めよ．

　国立 鳥取大学 2015年 第4問

次の問いに答えよ．
(1)5!+4!+3!の値を求めよ．
(2)a≧4のとき，a!+2は2の累乗になり得ないことを示せ．
(3)a≧6のとき，a!/2+4は2の累乗になり得ないことを示せ．
(4)a≧b≧cを満たす正の整数a,b,cについて，
S=a!+b!+c!
とする．Sが2の累乗になる整数の組(a,b,c)をすべて求めよ．