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nを2以上の自然数とし,関数f(x)をf(x)=xnlogx(x>0)とする.ただし,対数は自然対数とする.次に答えよ.
(1)x>0のとき,不等式logx+1/x>0を証明せよ.
(2)\lim_{x→+0}xnlogx=0を示せ.
(3)関数f(x)の増減を調べ,その最小値を求めよ.また,曲線y=f(x)の概形をかけ.ただし,曲線の凹凸は調べなくてよい.
(4)f(x)が最小値をとるときのxの値をcnとし
In=∫_{cn}1f(x)dx
とする.\lim_{n→\inft・・・
国立 九州工業大学 2015年 第4問関数f(x)=\frac{\sqrt{x2-1}}{x}(x≧1)と曲線C:y=f(x)について,次に答えよ.
(1)区間x>1で,f(x)は増加し,曲線Cは上に凸であることを示せ.
(2)曲線Cの点(√2,f(√2))における接線ℓの方程式を求めよ.
(3)(2)で求めた直線ℓと曲線Cおよびx軸で囲まれた図形をDとする.Dをy軸のまわりに1回転してできる立体の体積Vを求めよ.
(4)(3)で定めた図形Dの面積Sを求めよ.
国立 徳島大学 2015年 第1問次の問いに答えよ.
(1)tanx/2=mとするとき,等式sinx=\frac{2m}{1+m2},cosx=\frac{1-m2}{1+m2}が成り立つことを示せ.
(2)-π<x<π/2のとき,次の不等式が成り立つことを示せ.
sinx+cosx≧tanx/2
国立 千葉大学 2015年 第2問下図のような1辺の長さが4の立方体ABCD-EFGHがある.辺AB上に点PをBP=3となるように取り,辺BC上に点Qを取る.また,Bから△PFQへ垂線BKを下ろす.BQの長さをaとして,以下の問いに答えよ.
(1)aを用いて△PFQの面積を表せ.
(2)aを用いてBKの長さを表せ.
(3)BKの長さは\frac{\sqrt{30a}}{5}以下であることを示せ.
(プレビューでは図は省略します)
国立 千葉大学 2015年 第4問k,m,nを自然数とする.以下の問いに答えよ.
(1)2kを7で割った余りが4であるとする.このとき,kを3で割った余りは2であることを示せ.
(2)4m+5nが3で割り切れるとする.このとき,2^{mn}を7で割った余りは4ではないことを示せ.
国立 千葉大学 2015年 第1問下図のような1辺の長さが4の立方体ABCD-EFGHがある.辺AB上に点PをBP=3となるように取り,辺BC上に点Qを取る.また,Bから△PFQへ垂線BKを下ろす.BQの長さをaとして,以下の問いに答えよ.
(1)aを用いて△PFQの面積を表せ.
(2)aを用いてBKの長さを表せ.
(3)BKの長さは\frac{\sqrt{30a}}{5}以下であることを示せ.
(プレビューでは図は省略します)
国立 千葉大学 2015年 第5問k,m,nを自然数とする.以下の問いに答えよ.
(1)2kを7で割った余りが4であるとする.このとき,kを3で割った余りは2であることを示せ.
(2)4m+5nが3で割り切れるとする.このとき,2^{mn}を7で割った余りは4ではないことを示せ.
国立 千葉大学 2015年 第6問bとcをb2+4c>0を満たす実数として,xに関する2次方程式x2-bx-c=0の相異なる解をα,βとする.数列{an}を
an=α^{n-1}+β^{n-1}(n=1,2,3,・・・)
により定める.このとき,つぎの問いに答えよ.
(1)数列{an}は漸化式
a_{n+2}=ba_{n+1}+can(n=1,2,3,・・・)
を満たすことを示せ.
(2)数列{an}の項anがすべて整数であるための必要十分条件は,b,cがともに整数であることである.これを証明せよ.
国立 千葉大学 2015年 第1問bとcをb2+4c>0を満たす実数として,xに関する2次方程式x2-bx-c=0の相異なる解をα,βとする.数列{an}を
an=α^{n-1}+β^{n-1}(n=1,2,3,・・・)
により定める.このとき,つぎの問いに答えよ.
(1)数列{an}は漸化式
a_{n+2}=ba_{n+1}+can(n=1,2,3,・・・)
を満たすことを示せ.
(2)数列{an}の項anがすべて整数であるための必要十分条件は,b,cがともに整数であることである.これを証明せよ.
国立 千葉大学 2015年 第1問bとcをb2+4c>0を満たす実数として,xに関する2次方程式x2-bx-c=0の相異なる解をα,βとする.数列{an}を
an=α^{n-1}+β^{n-1}(n=1,2,3,・・・)
により定める.このとき,つぎの問いに答えよ.
(1)数列{an}は漸化式
a_{n+2}=ba_{n+1}+can(n=1,2,3,・・・)
を満たすことを示せ.
(2)数列{an}の項anがすべて整数であるための必要十分条件は,b,cがともに整数であることである.これを証明せよ.