「示せ」について

　国立 千葉大学 2015年 第1問

k,m,nを自然数とする．以下の問いに答えよ．
(1)2kを7で割った余りが4であるとする．このとき，kを3で割った余りは2であることを示せ．
(2)4m+5nが3で割り切れるとする．このとき，2^{mn}を7で割った余りは4ではないことを示せ．

　国立 千葉大学 2015年 第2問

bとcをb2+4c＞0を満たす実数として，xに関する2次方程式x2-bx-c=0の相異なる解をα,βとする．数列{an}を
an=α^{n-1}+β^{n-1}(n=1,2,3,・・・)
により定める．このとき，つぎの問いに答えよ．
(1)数列{an}は漸化式
a_{n+2}=ba_{n+1}+can(n=1,2,3,・・・)
を満たすことを示せ．
(2)数列{an}の項anがすべて整数であるための必要十分条件は，b,cがともに整数であることである．これを証明せよ．

　国立 徳島大学 2015年 第3問

cを実数とする．数列{an}は次を満たす．
a1=1,a_{n+1}=\frac{{an}2+cn-4}{3n}(n=1,2,3,・・・)
(1)a2,a3をcを用いて表せ．
(2)a1+a3≦2a2のとき，不等式an≧3(n=3,4,5,・・・)を示せ．
(3)a1+a3=2a2のとき，極限\lim_{n→∞}anを求めよ．

　国立 弘前大学 2015年 第3問

次の問いに答えよ．
(1)0≦x≦1/2のとき，次の不等式が成り立つことを示せ．
-x2-x≦log(1-x)≦-x
(2)数列{an}を次によって定める．
\begin{array}{rcl}
a1&=&(1-\frac{1}{2・12})\
a2&=&(1-\frac{1}{2・22})(1-\frac{2}{2・22})\phantom{\frac{[]}{2}}\
&\vdots&\
an&=&(1-\frac{1}{2n2}・・・

　国立 弘前大学 2015年 第4問

xy平面において，曲線C:x2+y2=1(x≧0,y≧0)，および直線ℓ:y=(tanθ)xを考える．ただし，θは0＜θ＜π/2をみたす定数とする．S1,S2,S3を次によって定める．
S1:y軸，曲線C，直線ℓで囲まれた部分の面積
S2:x軸，曲線C，直線x=cosθで囲まれた部分の面積
S3:x軸，直線ℓ，直線x=cosθで囲まれた部分の面積
次の問いに答えよ．
\begin{enumerat・・・

　国立 愛媛大学 2015年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)不定積分∫x3e^{x2}dxを求めよ．
(2)定積分∫_{1/e}e|logx|dxを求めよ．
(3)楕円\frac{x2}{4}+\frac{y2}{2}=1上の点(√2,1)における接線の方程式を求めよ．
(4)(\frac{1+√5}{2})3からその整数部分を引いた値をaとするとき，a4+5a3+4a2+4aの値を求めよ．
(5)実数a,b,cは0＜a＜b＜c，1/b=1/2(1/a・・・

　国立 愛媛大学 2015年 第4問

nを自然数とし，曲線y=nsinx/nと円x2+y2=1の第1象限における交点の座標を(pn,qn)とする．
(1)x＞0のとき，不等式nsinx/n＜xが成り立つことを示せ．
(2)不等式pn＞\frac{1}{√2}が成り立つことを示せ．
(3)0≦x≦1のとき，不等式
(*)(nsin1/n)x≦nsinx/n
が成り立つことを利用して，次の(i)，(ii)に答えよ．
\mon[・・・

　国立 愛媛大学 2015年 第3問

nを自然数とし，曲線y=nsinx/nと円x2+y2=1の第1象限における交点の座標を(pn,qn)とする．
(1)x＞0のとき，不等式nsinx/n＜xが成り立つことを示せ．
(2)不等式pn＞\frac{1}{√2}が成り立つことを示せ．
(3)0≦x≦1のとき，不等式
(*)(nsin1/n)x≦nsinx/n
が成り立つことを利用して，次の(i)，(ii)に答えよ．
\mon[・・・

　国立 愛媛大学 2015年 第3問

aを自然数とし，関数f(x)=x3+2x2+ax+4はx=x1で極大，x=x2で極小になるものとする．また，曲線y=f(x)上の2点P(x1,f(x1))，Q(x2,f(x2))の中点をRとする．
(1)a=1であることを示せ．
(2)点Pおよび点Qの座標を求めよ．
(3)点Rは曲線y=f(x)上にあることを示せ．
(4)点Rにおける曲線y=f(x)の接線は，点R以外にy=f(x)との共有点をもたないことを示せ．

　国立 佐賀大学 2015年 第2問

a,b,cを正の定数とし，3点A(a,0,0)，B(0,b,0)，C(0,0,c)の定める平面をαとする．また，原点をOとし，平面αに垂直な単位ベクトルをベクトルn=(n1,n2,n3)とする．ただし，n1＞0とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)ベクトルnを求めよ．
(2)平面α上に点Hがあり，直線OHはαに垂直であるとする．ベクトルOHおよび|ベクトルOH|を求めよ．
(3)△ABCの面積をS，△OBC・・・