「示せ」について

　国立 福岡教育大学 2015年 第3問

平面上に△ABCと点Oがある．△ABCの内部に点Dがあって，三角形の面積比が
△DBC:△DCA:△DAB=p:q:r
であるとする．次の問いに答えよ．
(1)直線ADと辺BCの交点をS，直線BDと辺ACの交点をTとするとき，BS:SCおよびCT:TAをp,q,rを用いて表せ．
(2)ベクトルOD=\frac{pベクトルOA+qベクトルOB+rベクトルOC}・・・

　国立 東京海洋大学 2015年 第4問

座標平面上の曲線y=x2(1-x)をCとし，直線y=-xをℓとする．数列{an}(n=1,2,3,・・・)を次のように定める．a1=2/5とし，x=an(n=1,2,3,・・・)におけるCの接線とℓの交点のx座標をa_{n+1}とする．このとき次の問に答えよ．
(1)nを自然数とするとき，a_{n+1}をanで表せ．
(2)nを自然数とするとき，0＜a_{n+1}＜{an}2を示せ．

　国立 富山大学 2015年 第1問

mを実数とする．方程式
mx2-my2+(1-m2)xy+5(1+m2)y-25m=0・・・・・・(*)
を考える．このとき，次の問いに答えよ．
(1)xy平面において，方程式(*)が表す図形は2直線であることを示せ．
(2)(1)で求めた2直線はmの値にかかわらず，それぞれ定点を通る．これらの定点を求めよ．
(3)mが-1≦m≦3の範囲を動くとき，(1)で求めた2直線の交点の軌跡を図示せよ．

　国立 富山大学 2015年 第3問

次の問いに答えよ．
(1)関数f(x)は区間[a,b]で連続であり，区間(a,b)で第2次導関数f^{\prime\prime}(x)をもつとする．さらに，区間(a,b)でf^{\prime\prime}(x)＜0が成り立つとする．y=g(x)を2点(a,f(a))，(b,f(b))を通る直線の方程式とするとき，区間(a,b)で常にf(x)＞g(x)であることを示せ．
(2)nを2以上の自然数とするとき，j=1,2,・・・,n-1について
\frac{logj+log(j+1)}{2}＜∫j^{j+1}logxdx
が成り立つことを示せ．
(3)nを2以上の自然数・・・

　国立 富山大学 2015年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)関数f(x)は区間[a,b]で連続であり，区間(a,b)で第2次導関数f^{\prime\prime}(x)をもつとする．さらに，区間(a,b)でf^{\prime\prime}(x)＜0が成り立つとする．y=g(x)を2点(a,f(a))，(b,f(b))を通る直線の方程式とするとき，区間(a,b)で常にf(x)＞g(x)であることを示せ．
(2)nを2以上の自然数とするとき，j=1,2,・・・,n-1について
\frac{logj+log(j+1)}{2}＜∫j^{j+1}logxdx
が成り立つことを示せ．
(3)nを2以上の自然数・・・

　国立 富山大学 2015年 第2問

関数f(x)は区間[a,b]で連続であり，区間(a,b)で第2次導関数f^{\prime\prime}(x)をもつとする．さらに，区間(a,b)でf^{\prime\prime}(x)＜0が成り立つとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)f(x)＞\frac{1}{b-a}{(b-x)f(a)+(x-a)f(b)}(a＜x＜b)が成り立つことを示せ．
(2)cがa＜c＜bを満たすならば
f(x)≦f´(c)(x-c)+f(c)(a＜x＜b)
が成り立つことを示せ．

　国立 宮城教育大学 2015年 第2問

実数p,qに対して，
f(x)=x2+px+q,g(x)=x3-3x
とおく．2次方程式f(x)=0の2つの解をα,βとして，次の問に答えよ．
(1)2次方程式の解と係数の関係を用いて，積g(α)g(β)をp,qを用いて表せ．
(2)g(α)=0またはg(β)=0であるとき，点(p,q)の集合を座標平面上に図示せよ．
(3)g(α)=0またはg(β)=0ならば，αとβは実数であることを示せ．

　国立 東京海洋大学 2015年 第3問

Oを原点とする座標平面上に放物線C:y=x2と点P(a,b)（ただし，a＞0かつb＜a2）がある．Pを通りy軸に平行な直線ℓが，Cおよびx軸と交わる点をそれぞれQ，Rとする．ベクトルPQ=ベクトルQMとなるように点Mを，またベクトルPR=ベクトルONとなるように点Nをとる．直線MNがCと交わる点をA，Bとする．
(1)直線APおよび直線BPは，それぞれCの接線であることを示せ．
(2)Cと線分ABで囲まれる図・・・

　国立 高知大学 2015年 第1問

方程式x2+y2+2kx-4ky+10k-20=0の表す図形Cを考える．ただし，kは実数とする．次の問いに答えよ．
(1)図形Cは円であることを示せ．
(2)図形Cはkがどのような値であっても定点を通る．その定点の座標を求めよ．
(3)図形Cで囲まれる部分の面積の最小値を求めよ．
(4)図形Cと直線y=x-2の共有点の個数を求めよ．

　国立 高知大学 2015年 第2問

次の条件（イ），（ロ）によって定められる数列{an}がある．
（イ）a1=√2+1
（ロ）n=1,2,3,・・・に対し
a_{n+1}={\begin{array}{ll}
-√2an-1&(an＜10　のとき　)\
(√2-1)an+6&(an＞10　のとき　)\phantom{\frac{[]}{2}}
\end{array}.
次の問いに答えよ．
(1)a2,a3,a4,a5を求めよ．
(2)n≧5のとき，an＞10であることを示せ．
(3)n≧5のとき・・・