「移動」について

　私立 中央大学 2010年 第3問

サイコロを2個，くり返し投げたとき，xy平面上で，点Pは原点を出発して，次の規則で移動していく．
(i)1回投げるごとに，x軸方向に+1移動する．
(ii)目の和が10以上のときはy軸方向に+2移動し，9以下のときはy軸方向に-1移動する．
このとき，次の確率を求めよ．
(1)5回投げたとき，点Pが点(5,4)に達する．
(2)6回投げたとき，点Pが点(5,4)を通り点(6,5)に達する．
(3)7回投げたとき・・・

　公立 大阪府立大学 2010年 第4問

2次の正方行列Aの表す1次変換をfとする．(すなわち，行列Aで表される座標平面上の点の移動をfとする．)fにより，点(1,1)は点(2,2)に移り，点(1,-1)は点(-1,1)に移る．次の問いに答えよ．
(1)行列Aを求めよ．
(2)fによって自分自身に移る点は原点のみであることを証明せよ．
(3)直線y=ax上のすべての点がfによってx軸上に移る．このとき，aを求めよ．

　公立 大阪府立大学 2010年 第3問

単位行列Eの実数倍ではない行列A=\biggl(\begin{array}{cc}
a&b\\
c&d
\end{array}\biggr)を考える．Aで表わされるxy平面上の移動をfとする．
(1)A2=kEを満たす実数kが存在するための必要十分条件は，a+d=0であることを示せ．
(2)a+d=0のとき，原点Oとは異なる点Pで，f(P)が直線OP上にあるものが存在すれば，a2+bc≧0であることを示せ．
(3)a+d=0かつa2+bc≧0であるとする．このとき\lambda=\sqrt{a2+bc}とおけば，(A-\lambdaE)(A+\lambdaE)=Oが成り立つことを示・・・

　公立 大阪府立大学 2010年 第3問

座標平面上において，点(x,y)から点(x+1,y)または点(x,y+1)への移動をN型移動といい，点(x,y)から点(x+1,y+1)への移動をS型移動という．nを3以上の整数とする．原点Oから出発し，2n-2回のN型移動と1回のS型移動を組合せて点(n,n)に到達する径路の総数をA(n)とする．また，このような径路のうち，S型移動をk回目の移動として含む径路の総数をB(n,k)とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)A(3)を求めよ．
(2)B(4,1),B(4,2)をそれぞれ求めよ．
(3)B(n,1)をnを用い・・・