「積分」について

　国立 宮崎大学 2013年 第1問

次の各問に答えよ．ただし，logxはxの自然対数を表す．
(1)次の関数を微分せよ．
(i)y=\frac{x}{ex}\qquad(ii)y=log(\frac{2+sinx}{2-sinx})
(2)次の定積分の値を求めよ．
(i)∫01\frac{2x2-x}{2x+1}dx
(ii)∫0^{\frac{\sqrt{π}}{2}}xcos(x2)dx
(iii)∫01x3log(x2+1)dx
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　私立 南山大学 2013年 第3問

2つの関数f(x),g(x)を
f(x)=\frac{1}{1+ex},g(x)=\frac{ex}{(1+ex)2}
とする．
(1)導関数f´(x)を求めよ．
(2)すべてのxについてg(-x)=g(x)が成り立つことを示せ．
(3)aを正の定数とする．このとき，次の2つの定積分を求めよ．
∫_{-a}axg(x)dx,∫_{-a}a|x|g(x)dx

　私立 東京都市大学 2013年 第2問

次の問に答えよ．
(1)f(x)=1+x+\frac{x2}{2!}+\frac{x3}{3!}+・・・+\frac{x^{100}}{100!}とおく．f´(x)をf(x)の導関数とするとき，99!(f(1)-f´(1))を求めよ．
(2)放物線y=2-x2とx軸で囲まれた図形を，x軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を求めよ．
(3)定積分∫0^{√3}(x+x3)\sqrt{1+x2}dxの値を求めよ．

　私立 東京都市大学 2013年 第2問

次の問に答えよ．
(1)関数f(x)=x3+3ax2+3(10-3a)xが極値をもつような実数aの範囲を求めよ．
(2)曲線y=ex-2とx軸およびy軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
(3)定積分∫_{π/6}^{π/3}(cosx)log(sinx)dxの値を求めよ．ただし，logは自然対数とする．

　私立 東京都市大学 2013年 第2問

次の問に答えよ．

(1)関数y=cos2xのグラフのx=π/3である点における接線の方程式を求めよ．
(2)定積分∫04xlog(x+1)dxの値を求めよ．ただし，logは自然対数とする．
(3)∫a1(\frac{2}{x2}-\frac{1}{x3})dx=0を満たす正の定数aをすべて求めよ．

　私立 東京電機大学 2013年 第1問

次の各問に答えよ．
(1)関数y=2cos2x-sinx-1(0≦x≦2π)の最大値と最小値を求めよ．
(2)袋の中に赤玉3個，白玉4個，青玉5個が入っている．この袋から2個の玉を同時に取り出すとき，異なる色の玉を取り出す確率を求めよ．
(3)数列{an}が，a1=1，a_{n+1}=an+3(n=1,2,3,・・・)で定められるとき，Σ_{k=1}n\frac{1}{aka_{k+1}}を求めよ．
(4)定積分∫01xe^{1-x}dxを求めよ．
(5)関数f(x)=x3logxの極値を・・・

　私立 大同大学 2013年 第5問

f(x)=\frac{xlog(x2+3/4)}{x2+3/4}とする．
(1)f(x)=0をみたすxの値を求めよ．
(2)t=log(x2+3/4)を微分せよ．
(3)(2)を用いて置換積分することにより，不定積分∫f(x)dxを求めよ．
(4)曲線y=f(x)とx軸で囲まれる2つの部分の面積の和を求めよ．

　私立 九州産業大学 2013年 第5問

関数fn(x)=\frac{1}{x(1+x)n}(-1＜x＜0)とおく．ただし，nは正の整数とし，Cは積分定数とする．
(1)導関数d/dxfn(x)=[ア]である．
(2)関数fn(x)はx=[イ]において極値をとる．
(3)∫f1(x)dx=[ウ]+Cである．
(4)∫f_{n+1}(x)dx-∫fn(x)dx=[エ]+Cである．
(5)∫f3(x)dx=[オ]+Cである．

　私立 産業医科大学 2013年 第1問

空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを記入しなさい．
(1)100円，50円，10円の硬貨がそれぞれたくさんあるとする．ある品物を買うのに2300円かかるとき，このお金による支払い方の総数は[]である．
(2)整式P(x)をx2-4x+3で割ったときの余りはx+1であり，x2-3x+2で割ったときの余りは3x-1である．P(x)をx3-6x2+11x-6で割ったときの余りは[]である．
(3)数列の極限\lim_{n→∞}\frac{Σ_{k=1}^{2n}(k+n)2}{Σ_{k=1}^{2n}k2}の値は\kakko・・・

　私立 大阪工業大学 2013年 第4問

関数f(x)=logxについて，次の問いに答えよ．
(1)曲線y=f(x)上の点P(a,f(a))における接線ℓ1が原点Oを通るとき，aの値を求めよ．
(2)aを(1)で求めた値とするとき，曲線y=f(x)上の点P(a,f(a))における法線ℓ2の方程式を求めよ．
(3)部分積分法を用いて，∫logxdxを計算せよ．
(4)(2)で求めた法線ℓ2と曲線y=logxおよびx軸で囲まれた図形の面積Sを求めよ．