「積分」について

　国立 名古屋大学 2012年 第2問

f0(x)=xexとして，正の整数nに対して，
fn(x)=∫_{-x}^{x}f_{n-1}(t)dt+f^{\;\prime}_{n-1}(x)
により実数xの関数fn(x)を定める．
(1)f1(x)を求めよ．
(2)g(x)=∫_{-x}x(at+b)etdtとするとき，定積分∫_{-c}cg(x)dxを求めよ．ただし，実数a,b,cは定数とする．
(3)正の整数nに対して，f_{2n}(x)を求めよ．

　国立 横浜国立大学 2012年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)定積分∫_{π/3}^{π/2}\frac{2+sinx}{1+cosx}dxを求めよ．
(2)関数y=\frac{\sqrt{x2+1}}{x2-3x}の増減，極値を調べ，そのグラフの概形を描け．ただし，グラフの凹凸，変曲点は調べなくてよい．

　国立 神戸大学 2012年 第4問

自然対数の底をeとする．以下の問に答えよ．
(1)e＜3であることを用いて，不等式log2＞3/5が成り立つことを示せ．
(2)関数f(x)=\frac{sinx}{1+cosx}-xの導関数を求めよ．
(3)積分
∫0^{π/2}\frac{sinx-cosx}{1+cosx}dx
の値を求めよ．
(4)(3)で求めた値が正であるか負であるかを判定せよ．

　国立 静岡大学 2012年 第4問

x＞0に対してf(x)=∫x^{x+1}logtdtとおき，y=f(x)のグラフをCとする．このとき，次の問いに答えよ．ただし\lim_{x→+0}xlogx=0を使ってよい．
(1)f(x)とf´(x)をそれぞれ求めよ．
(2)定積分∫12f(x)dxを求めよ．
(3)k≧0を定数とする．直線y=k(x+1)と曲線Cが共有点をもつための条件を求めよ．

　国立 琉球大学 2012年 第1問

次の問に答えよ．
(1)次の数列の一般項を求めよ．
1,5,11,19,29,41,・・・
(2)|ベクトルa|=3,|ベクトルb|=2で，ベクトルaとベクトルbのなす角が{60}°であるとき，|ベクトルa-3ベクトルb|を求めよ．
(3)次の数を小さい順に並べよ．
log35,1/2+log98,log926
(4)次の定積分を求めよ．
∫03|x2-x-2|dx

　国立 名古屋工業大学 2012年 第3問

a,bは定数でa≠0とする．自然数nに対して，整式(ax+b)nをx2+1で割った余りをanx+bnと表し，
In=∫01\frac{(ax+b)n}{x2+1}dx
とおく．
(1)行列Aは，すべてのnに対して，
\biggl(\begin{array}{c}
a_{n+1}\\
b_{n+1}
\end{array}\biggr)=A\biggl(\begin{array}{c}
a_{n}\\
b_{n}
\end{array}\biggr)
を満たす．行列Aを求めよ．
(2)(1)で求めた行列Aに対し，
A2+pA+qE=O
となる定数p,qをa,bを用いて表せ．ただし，Eは単位行列，Oは零行・・・

　国立 大分大学 2012年 第4問

I1=∫03\sqrt{x2+9}dx,I2=∫03\frac{dx}{\sqrt{x2+9}}とする．
(1)次の等式がすべての実数xについて成り立つように，定数a,bの値を定めなさい．
\frac{x2}{\sqrt{x2+9}}=a\sqrt{x2+9}+\frac{b}{\sqrt{x2+9}}
(2)I1において部分積分することにより，I1をI2で表しなさい．
(3)log(x+\sqrt{x2+9})の導関数を利用して，I2を求めなさい．
(4)曲線x2-y2=-9と直線y=3√2で囲まれた部分の面積Sを求めなさい．

　国立 岐阜大学 2012年 第5問

aを正の実数とする．tを媒介変数として
x(t)=cos2t,y(t)=sinat(-π≦t≦π)
で表される曲線Cについて，以下の問に答えよ．
(1)a=1とする．Cをxとyの方程式で表し，その概形をxy平面上にかけ．
(2)a=2とする．Cをxとyの方程式で表し，その概形をxy平面上にかけ．
(3)定積分
∫_{-π}^πx(t)y´(t)dt
の値を，a≠2とa=2のそれぞれの場合について求めよ．
(4)(3)で求めた定積分の値をaの関数と考えてP(a)=∫_・・・

　国立 福岡教育大学 2012年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)aを0でない実数とする．xについての3次方程式x3-a3=0の2つの虚数解をα,βとするとき，\frac{α-β}{α+β}の値を求めよ．
(2)定積分∫_{-\frac{3π}{2}}^{π/2}sin|2x|dxを求めよ．
(3)連続する3つの自然数a,b,cがあり，それらはa2+b2=c2,a＜b＜cをみたすとする．このようなa,b,cはただ1組しかないことを示せ．

　国立 宮崎大学 2012年 第1問

次の各問に答えよ．ただし，logxはxの自然対数を表す．
(1)次の関数を微分せよ．
(2)y=\frac{1-x2}{1+x2}
(3)y=sin3(2x+1)
(4)次の定積分の値を求めよ．
(5)∫12\frac{x-1}{x2-2x+2}dx
\mon∫01\frac{e^{4x}}{e^{2x}+2}dx
\mon∫1exlog√xdx
\mon∫0^{π/3}(cos2xsin3x-1/4sin5x・・・