「積分」について

　国立 宮崎大学 2012年 第1問

次の各問に答えよ．ただし，logxはxの自然対数を表す．
(1)次の関数を微分せよ．
(2)y=\frac{1-x2}{1+x2}
(3)y=sin3(2x+1)
(4)次の定積分の値を求めよ．
(5)∫12\frac{x-1}{x2-2x+2}dx
\mon∫01\frac{e^{4x}}{e^{2x}+2}dx
\mon∫1exlog√xdx
\mon∫0^{π/3}(cos2xsin3x-1/4sin5x・・・

　国立 小樽商科大学 2012年 第5問

次の問いに答えよ．
(1)\frac{x2}{4}+y2=1(y≧0)とx軸で囲まれる部分の面積を積分法を用いて求めよ．
(2)(1)のグラフをx軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を積分法を用いて求めよ．

　国立 福島大学 2012年 第1問

以下の問いに答えなさい．
(1)次の方程式を満たすxとyを求めなさい．
|xy-2x-y+2|+|1-e^{x+y|}=0
(2)次の不等式を解きなさい．
3log_{0.5}(x-1)＞log_{0.5}(-x2+6x-7)
(3)次の定積分を求めなさい．
∫0^{π/4}xsin2xdx
(4)関数f(x)=e^{sinx}を微分しなさい．

　国立 奈良教育大学 2012年 第4問

次の問いに答えよ．
(1)関数y=\sqrt{4-x2}のグラフの概形を描け．
(2)次の定積分を求めよ．
∫_{-1}1\sqrt{4-x2}dx

　国立 山形大学 2012年 第3問

自然数nに対して
S(x)=Σ_{k=1}n(-1)^{k-1}x^{2k-2},R(x)=\frac{(-1)nx^{2n}}{1+x2}
とする．さらにf(x)=\frac{1}{1+x2}とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)等式∫01S(x)dx=Σ_{k=1}n(-1)^{k-1}\frac{1}{2k-1}が成り立つことを示せ．
(2)定積分∫01f(x)dxの値を求めよ．
(3)等式S(x)=f(x)-R(x)が成り立つことを示せ．
(4)不等式|∫01R(x)dx|≦\frac{1}{2n+1}が成り立つことを・・・

　国立 茨城大学 2012年 第1問

以下の各問に答えよ．
(1)極限\lim_{x→∞}(\sqrt{x2+x+3}-x)を求めよ．
(2)関数y=(x-2)8(2x+3)6を微分せよ．
(3)次の定積分を求めよ．ただし，対数は自然対数であり，eは自然対数の底である．
(i)∫01\frac{x}{\sqrt{3x+1}}dx\qquad(ii)∫_{2}^{2e}1/2logx/2dx

　国立 茨城大学 2012年 第2問

すべての実数tに対して関数f(t),g(t)をf(t)=et-e^{-t},g(t)=et+e^{-t}と定義する．ただし，eは自然対数の底とする．次の各問に答えよ．
(1)すべてのtに対してg(t)≧2であることを示せ．
(2)f(t)は単調増加であることを示せ．
(3)x=f(t),s=etとするとき，sをxを用いて表せ．
(4)x=f(t)の逆関数t=f^{-1}(x)を求めよ．
(5)不定積分∫\frac{1}{\sqrt{x2+4}}dxをx=f(t)と置換積分して求めよ．
\mon座標平面上でtを媒介変数とする曲線x=f(t),y=g(・・・

　国立 電気通信大学 2012年 第1問

関数f(x)=\frac{1}{x2+1}に対して，xy平面上の曲線C:y=f(x)を考える．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)導関数f´(x)を求めよ．
(2)曲線Cの第1象限にある変曲点Pの座標を求めよ．
(3)変曲点Pにおける曲線Cの接線ℓの方程式を求めよ．
(4)x=tanθ(-π/2＜θ＜π/2)とおく．このとき，不定積分
I=∫\frac{dx}{x2+1}
をθを用いて表せ．なお，不定積分の計算においては積分定数を・・・

　国立 電気通信大学 2012年 第2問

区間0≦x≦πで連続な関数f(x)に対して，定積分
I=∫0^π{tsinx-f(x)}2dx(t　は実数　)
を考える．定数c1,c2,c3を
c1=∫0^πsin2xdx,c2=∫0^πf(x)sinxdx,c3=∫0^π{f(x)}2dx
と定めるとき，以下の問いに答えよ．
(1)Iを，tおよびc1,c2,c3を用いて表せ．
(2)c1の値を求めよ．\\
以下では，Iを最小にするtの値をt0とし，その最小値をI0とする．
(3)t0をc2を用い・・・

　国立 長崎大学 2012年 第6問

次の問いに答えよ．
(1)I1=∫0^{√3}\frac{dx}{x2+1}とする．x=tanθとおくことにより，I1=π/3を示せ．
(2)(1)のI1を部分積分して，I1とI2=∫0^{√3}\frac{dx}{(x2+1)2}の関係式を導き，I2の値を求めよ．
(3)t=x+\sqrt{x2+1}とおくことにより，不定積分∫\frac{dx}{\sqrt{x2+1}}を求めよ．
(4)合成関数の微分法を用いて，関数y=log(x+\sqrt{x2+1})の導関数を求めよ．
(5)極限値\・・・