「積分」について

　国立 岩手大学 2012年 第6問

実数t＞1に対して積分
I(t)=∫_{-4}^{4t-4}(x-4)\sqrt{x+4}dx
を考える．このとき，次の問いに答えよ．
(1)I(t)をtで表せ．
(2)I(t)のt＞1における最小値を求めよ．

　国立 愛媛大学 2012年 第1問

図のような1辺の長さを1とする立方体ABCD-EFGHを考える．\\
線分AHと線分EDの交点をKとする．さらに，辺CGを3:1\\
に内分する点をLとし，辺EFをp:1-pに内分する点をMと\\
する．ただし，0＜p＜1である．また，ベクトルa=ベクトルEF，ベクトルb=ベクトルEH，\\
ベクトルc=ベクトルEAとおく．
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(1)ベクトルKLおよびベクトルKMをそれぞれベクトルa,ベクトルb,ベクトルcを用いて表せ．
(2)・・・

　国立 東京海洋大学 2012年 第3問

定数a(a≠1)に対し，f(x)=x3-(a+2)x2+(2a+1)x-aとする．
(1)方程式f(x)=0の解をaを用いて表せ．
(2)関数f(x)の極値をaを用いて表せ．
(3)曲線y=f(x)とx軸で囲まれた図形の面積をaを用いて表せ．
ただし，∫x3dx=\frac{x4}{4}+C（Cは積分定数）を用いてよい．

　私立 早稲田大学 2012年 第6問

0≦x≦1において，連立不等式
{
\begin{array}{l}
1-2x≦f(x)\\
x≦f(x)\\
f(x)≦1
\end{array}
.
を満たす2次関数f(x)で，定積分∫01f(x)dxの値を最小にする関数は，
f(x)=[ネ]x2+[ノ]x+[ハ]
であり，その最小値は\frac{[ヒ]}{[フ]}となる．ただし，[フ]はできるだけ小さい自然数で答えることとする．

　私立 北海学園大学 2012年 第4問

f(x)=(x-1)(x-√3)とする．点A(0,√3)における放物線y=f(x)の接線をℓとするとき，次の問いに答えよ．
(1)接線ℓの方程式を求めよ．
(2)定積分∫01f(x)dxを求めよ．
(3)接線ℓとx軸との交点をBとし，C(1,0)とする．放物線y=f(x)，接線ℓ，および線分BCで囲まれた図形の面積を求めよ．

　私立 龍谷大学 2012年 第1問

次の問いに答えなさい．
(1)関数y=sin2x+4sinxcosx+5cos2xの最大値と最小値を求めなさい．
(2)Σ_{k=1}^{99}log_{10}\frac{k}{k+1}を求めなさい．
(3)定積分∫01(x+1)exdxを求めなさい．

　私立 中央大学 2012年 第1問

次の各問いに答えよ．
(1)次の式を展開せよ．
(x+1)(x-1)(2x+3)(3x-1)
(2)mは自然数である．xについての2次方程式
x2-2mx+6m-8=0
が，実数解を持たないとき，mの値を求めよ．
(3)0°≦θ≦360°において，次の関数の最大値と最小値を求めよ．
y=2sin2θ+cosθ-2
(4)次の定積分の値を求めよ．
∫12(3x2+4x+2)dx
(5)大小2つのさいころを投げ，出た目の数をそれぞれa,bとするとき，|a-b|≧3となる確率を求めよ．
・・・

　私立 青山学院大学 2012年 第2問

次の定積分を求めよ．
(1)∫_{1/2}2xlogxdx=\frac{[コサ]}{[シ]}log[ス]-\frac{[セソ]}{[タチ]}
(2)∫02(x2+2x+3)log(x+1)dx=[ツテ]log[ト]-\frac{[ナニ]}{[ヌ]}

　私立 関西学院大学 2012年 第4問

aを定数とし，f(x)=\frac{cos2x-(a+2)cosx+a+1}{sinx}とするとき，次の問いに答えよ．
(1)極限\lim_{x→0}\frac{cosx-1}{x2}を求めよ．
(2)等式\lim_{x→0}\frac{f(x)}{x}=1/2が成り立つように定数aの値を求めよ．
(3)上の(2)で求めたaの値に対して定積分∫_{π/3}^{π/2}\frac{1}{f(x)}dxを求めよ．

　私立 産業医科大学 2012年 第1問

空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを記入しなさい．
(1)実数xに対して，x以下の最大の整数を[x]で表す．例えば[3]=3，[3.14]=3，[-3.14]=-4である．実数xについて，方程式4x-3[x]=0の解の個数は[]であり，方程式x2-3x+[3x]=0の解の個数は[]である．
(2)a,b,cをa+b+c=πを満たす正の実数とするとき，sin(a)sin(b)sin(c)の最大値は[]である．
(3)原点をOとする座標空間内の3点A(-1,1,1)，B(1,-1,1)，C(1,・・・