「積分」について

　私立 大阪工業大学 2012年 第4問

関数f(x)=-2x3+3x2+12x-5について，次の問いに答えよ．
(1)f(x)の導関数f´(x)を求めよ．
(2)f(x)がx=aで極小となり，x=bで極大となるとする．f(b)-f(a)を求めよ．
(3)y=f(x)のグラフをかけ．
(4)定積分∫ab(f´(x)+ab)dxを求めよ．

　私立 中央大学 2012年 第4問

関数f(x)の第n次導関数を\frac{dn}{dxn}f(x)で表す．いま，自然数nに対して関数Hn(x)を次で定義する．
Hn(x)=(-1)ne^{x2}\frac{dn}{dxn}e^{-x2}
以下の問いに答えよ．
(1)H1(x),H2(x),H3(x)を求めよ．
(2)導関数d/dxHn(x)をHn(x)とH_{n+1}(x)を用いて表せ．さらに，nに関する数学的帰納法によりHn(x)がn次多項式（整式）であることを証明せよ．
(3)n≧3のとき，定積分
Sn(a)=∫0axHn(x)e^{-x2}dx・・・

　私立 大同大学 2012年 第5問

f(x)=sin2xlog(2sinx)(π/12≦x≦3/4π)とする．
(1)不定積分∫tlogtdtを求めよ．
(2)2sinx=tとおいて置換積分することにより，不定積分∫f(x)dxを求めよ．
(3)f(x)≧0をみたすxの範囲を求めよ．
(4)曲線y=f(x)とx軸で囲まれる部分の面積を求めよ．

　私立 東京女子大学 2012年 第4問

実数mについて，定積分I(m)=∫01|x2-mx|dxを考える．このとき，以下の設問に答えよ．
(1)I(m)を求めよ．
(2)I(m)の最小値，およびそのときのmの値を求めよ．

　私立 東京女子大学 2012年 第7問

関数f(x)=x2e^{-x}に対し，以下の設問に答えよ．ここでeは自然対数の底を表す．
(1)x≧0におけるf(x)の最大値，およびそのときのxの値を求めよ．
(2)定積分∫01f(x)dxを求めよ．

　公立 高知工科大学 2012年 第4問

2つの関数
\begin{eqnarray}
&&f(x)=\frac{sinx}{1+cosx}(　定義域は　-π＜x＜π)\nonumber\\
&&g(x)=∫0x\frac{2}{1+t2}dt(　定義域は実数全体　)\nonumber
\end{eqnarray}
と，これらの合成関数h(x)=g(f(x))を考える．次の各問に答えよ．
(1)f(x),g(x),h(x)のそれぞれの導関数を求めよ．
(2)h(x)を求めよ．
(3)定積分∫0^{\frac{1}{2+√3}}\frac{2}{1+t2}dtの値を求めよ．

　公立 県立広島大学 2012年 第4問

mを定数とし，2つの曲線
y=f(x)=-x2+mx-3,y=g(x)=x3-x
が，点A(a,f(a))を通り，Aで共通の接線ℓをもつ．次の問いに答えよ．
(1)y=g(x)のグラフをかけ．
(2)a,mの値と，接線ℓの方程式を求めよ．
(3)積分∫03|f(x)|dxの値を求めよ．

　公立 岡山県立大学 2012年 第4問

次の問いに答えよ．
(1)不定積分∫cos3xdxを求めよ．
(2)不定積分∫xcosxdxを求めよ．
(3)定積分∫a^{a+π}|x|cosxdxを求めよ．ただし，aは実数とする．

　公立 会津大学 2012年 第1問

次の空欄をうめよ．
(1)次の積分を求めよ．
(i)∫14√xdx=[]
(ii)∫0^{π/2}sin2xcosxdx=[]
(2)2つのベクトルベクトルa=(1,3)，ベクトルb=(2,-1)に対して，|ベクトルa+tベクトルb|はt=[]のとき，最小値[]をとる．
(3)0≦θ≦πにおいてsin2θ-2cosθ=0のとき，θ=[]である．
(4)・・・

　公立 大阪府立大学 2012年 第5問

nとkを自然数，tを正の実数とする．以下の問いに答えよ．
(1)不定積分∫xsintxdxを求めよ．
(2)定積分∫0^{2/tπ}|xsintx|dxを求めよ．
(3)定積分Ik(t)=∫_{\frac{k-1}{t}π}^{k/tπ}|xsintx|dxを，kが偶数である場合に求めよ．
(4)定積分∫0^{2n/tπ}|xsintx|dxを求めよ．