「積分」について

　公立 名古屋市立大学 2012年 第3問

曲線C1:y2=4pxとC2:x2-y2=-q（ただし，p＞0，q＞0）の二つの曲線が接するとき，次の問いに答えよ．
(1)qをpを用いて表せ．また接点の座標をpを用いて表せ．
(2)\sqrt{x2+q}+x=tと置いたときxをtで表せ．また不定積分I=∫\sqrt{x2+q}dxをxからtへの置換積分により，tの関数として求めよ．
(3)曲線C1，C2とy軸で囲まれた部分の面積をpで表せ．

　公立 富山県立大学 2012年 第3問

aは定数でa＞1とする．関数f(x)=\frac{a}{1+(a-1)e^{-x}}について，次の問いに答えよ．
(1)不等式0＜f(x)＜aが成り立つことを示せ．また，極限\lim_{x→-∞}f(x)および\lim_{x→∞}f(x)を求めよ．
(2)a=3のとき，y=f(x)のグラフの概形を，極値および変曲点を調べてかけ．
(3)pは定数でp＜0とする．a=3のとき，定積分I(p)=∫p0f(x)dxを求めよ．また，極限\lim_{p→-∞}I(p)を求めよ．
\end・・・

　公立 横浜市立大学 2012年 第3問

f(x)を区間[0,∞)上の連続関数とする．この区間上のf(x)の積分を
∫0^∞f(x)dx=\lim_{R→∞}∫0Rf(x)dx
とおく．以下の問いに答えよ．
(1)α,βを正の定数として，積分∫0^∞\frac{1}{(1+αx)(1+βx)}dxを求めよ．
(2)a,b,cを相異なる正の定数として，積分∫0^∞\frac{1}{(1+ax)(1+bx)(1+cx)}dxを（結果の表示を簡潔にするため）
∫0^∞\frac{1}{(1+ax)(1+bx)(1+cx)}・・・

　公立 奈良県立医科大学 2012年 第1問

実数p,qに対して，xの3次関数f_{p,q}(x)をf_{p,q}(x)=x3+px+qによって定める．実数p,qは，3次関数f_{p,q}(x)が以下の3条件を満たすような範囲を動くとする．
条件(i)：f_{p,q}(1)=1
条件(ii)：f´_{p,q}(0)＜0（ただし，f´_{p,q}(x)はf_{p,q}(x)の導関数を表す．）
条件(iii)：x≧0のとき，f_{p,q}(x)≧0
このとき，定積分
I(p,q)=∫01f_{p,q}(x)dx
を最大にするようなp,qの値，お・・・

　国立 京都大学 2011年 第1問

次の各問に答えよ．
(1)箱の中に，1から9までの番号を1つずつ書いた9枚のカードが入っている．ただし，異なるカードには異なる番号が書かれているものとする．この箱から2枚のカードを同時に選び，小さいほうの数をXとする．これらのカードを箱に戻して，再び2枚のカードを同時に選び，小さいほうの数をYとする．X=Yである確率を求めよ．
(2)定積分∫_{0}^{1/2}(x+1)\sqrt{1-2x2}dxを求めよ．

　国立 東京大学 2011年 第1問

xの3次関数f(x)=ax3+bx2+cx+dが，3つの条件
f(1)=1,f(-1)=-1,∫_{-1}^{1}(bx2+cx+d)dx=1
を全て満たしているとする．このようなf(x)の中で定積分
I=∫_{-1}^{1/2}{f^{\prime\prime}(x)}2dx
を最小にするものを求め，そのときのIの値を求めよ．ただし，f^{\prime\prime}(x)はf´(x)の導関数を表す．

　国立 秋田大学 2011年 第3問

f(x)=\frac{3√3}{4}-sin2x,g(x)=\frac{3√3}{4}-2cosxとする．
(1)関数{f(x)}2-{g(x)}2の不定積分を求めよ．
(2)すべての実数xに対して，不等式sin2x≦a-2cosxが成り立つような定数aの中で最小の値を求めよ．
(3)定積分∫0^π|{f(x)}2-{g(x)}2|dxを求めよ．

　国立 秋田大学 2011年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)g,m,nを実数とし，g=2^{\frac{702+m}{1200}},\frac{1}{26}g^{12}=2^{\frac{1200+n}{1200}}とする．
\mon[\maru{1}]g4=5となるmを求めよ．ただし，log25=2.32として計算せよ．
\mon[\maru{2}]mを用いてnを表せ．
(2)定積分∫0^{1200}2^{\frac{1200+x}{1200}}dxを求めよ．

　国立 埼玉大学 2011年 第2問

曲線C:(x-2)2+y2=1と直線ℓ:y=(tanθ)xを考える．ただし0≦θ＜π/2とする．f(θ)を次の(ア)，(イ)，(ウ)のように定める．
\mon[(ア)]Cとℓの共有点の個数が1のとき，f(θ)は共有点と原点の距離とする．
\mon[(イ)]Cとℓの共有点の個数が2以上のとき，f(θ)は共有点と原点の距離のうち最も小さいものとする．
\mon[(ウ)]Cとℓが共有点を持たないとき，f(θ)=0とする．
さらに，Cとℓが共有点を持つ\・・・

　国立 東京大学 2011年 第3問

Lを正定数とする．座標平面のx軸上の正の部分にある点P(t,0)に対し，原点Oを中心とし点Pを通る円周上を，Pから出発して反時計回りに道のりLだけ進んだ点をQ(u(t),v(t))と表す．
(1)u(t),v(t)を求めよ．
(2)0＜a＜1の範囲の実数aに対し，積分
f(a)=∫a1\sqrt{{u^{\prime}(t)}2+{v^{\prime}(t)}2}dt
を求めよ．
(3)極限\lim_{a→+0}\frac{f(a)}{loga}を求めよ．