「積分」について

　国立 三重大学 2011年 第4問

関数f(x)=-1/2x+tanx,g(x)=xcos(x2)について以下の問いに答えよ．
(1)0＜α＜π/2の範囲にあるαでf(α)=0となるものがただひとつ存在することを示せ．
(2)閉区間[\;0,\sqrt{π/2}\;]におけるg(x)の増減表を書け．必要ならば(1)のαを用いてよい．
(3)0＜β＜\sqrt{π/2}の範囲にありg^{\prime}(β)=0を満たすβを(1)のαを用いて表せ．ま・・・

　国立 佐賀大学 2011年 第3問

関数
f(t)=∫1t\frac{logx}{x+t}dx(t＞0)
を考える．ただし，対数は自然対数とする．
(1)この定積分をx=tyによって置換することにより，
f(t)=logt∫_{t^{-1}}1\frac{1}{y+1}dy+∫_{t^{-1}}1\frac{logy}{y+1}dy
を示せ．
(2)d/dt∫_{t^{-1}}1\frac{logy}{y+1}dy=-\frac{logt}{t(t+1)}を示せ．
(3)導関数f^{\prime}(t)を求めよ．
(4)関数f(t)の極値を求めよ．

　国立 琉球大学 2011年 第4問

次の問いに答えよ．
(1)定積分∫_{-π}^πxsin2xdxを求めよ．
(2)m,nが自然数のとき，定積分∫_{-π}^πsinmxsinnxdxを求めよ．
(3)a,bを実数とする．a,bの値を変化させたときの定積分I=∫_{-π}^π(x-asinx-bsin2x)2dxの最小値，およびそのときのa,bの値を求めよ．

　国立 電気通信大学 2011年 第2問

x＞0において関数
f(x)=sin(logx)
を考える．\\
方程式f(x)=0の0＜x≦1における解を大きいほうから順にならべて，
1=α1＞α2＞α3＞・・・＞αn＞α_{n+1}＞・・・
とする．以下の問いに答えよ．ただし，logxはeを底とする自然対数とする．なお，不定積分の計算においては積分定数を省略してもよい．
(1)不定積分I(x),J(x)をそれぞれ
I(x)=∫exsinxdx,J(x)=∫excosxdx
とおくとき，I(x)+J(x),I(x)-J(x)を求めよ．
(2)・・・

　国立 茨城大学 2011年 第1問

以下の各問に答えよ．ただし，対数は自然対数であり，eは自然対数の底である．
(1)次の関数を微分せよ．
\mon[(i)]y=sin32x
\mon[(ii)]y=log\frac{ex}{ex+1}
(2)次の不定積分を求めよ．
(3)∫\frac{1}{x2}(1+2/x)2dx
\mon[(ii)]∫\frac{x2}{x2-1}dx
(4)定積分∫_{-1}^{log2}e^{|x|}e^{x}dxを求めよ．
\end{e・・・

　国立 奈良教育大学 2011年 第2問

自然数nに対してIn=∫0^{π/2}cosnxdxと置く．このとき，以下の設問に答えよ．
(1)In=∫0^{π/2}(cos^{n-1}x)(sinx)´dxと書きなおし，部分積分を適用してInとI_{n-2}の関係式を求めよ．但しn≧3とする．
(2)I5を求めよ．

　国立 宮崎大学 2011年 第1問

次の各問に答えよ．ただし，logxはxの自然対数を表す．
(1)次の関数を微分せよ．
(2)y=e^{√x}
(3)y=\frac{log|cosx|}{x}
(4)次の定積分の値を求めよ．
(5)∫0^{\frac{\sqrt{π}}{2}}xtan(x2)dx
\mon∫0^{1/3}xe^{3x}dx
\mon∫e^{ee}\frac{1}{xlogx}dx
\mon∫23\frac{x2+1}{x(x+1)}dx
\end{en・・・

　国立 宮崎大学 2011年 第1問

次の各問に答えよ．ただし，logxはxの自然対数を表す．
(1)次の関数を微分せよ．
(2)y=e^{√x}
(3)y=\frac{log|cosx|}{x}
(4)次の定積分の値を求めよ．
(5)∫0^{\frac{\sqrt{π}}{2}}xtan(x2)dx
\mon∫0^{1/3}xe^{3x}dx
\mon∫e^{ee}\frac{1}{xlogx}dx
\mon∫23\frac{x2+1}{x(x+1)}dx
\end{enumer・・・

　国立 東京農工大学 2011年 第3問

2つの関数
f(x)=sin3x+sinx+cosx,g(x)=cos3x
について，次の問いに答えよ．
(1)区間0≦x≦nπにおける2つの曲線y=f(x),y=g(x)の交点の個数をrとする．rをnの式で表せ．ただし，nは正の整数とする．
(2)区間0≦x≦πにおいてf(x)＜g(x)をみたすxの範囲を求めよ．
(3)定積分
I=∫0^π|f(x)-g(x)|dx
の値を求めよ．

　国立 東京農工大学 2011年 第4問

cを正の実数とする．関数f(x)=(x+c)e^{2x}について，次の問いに答えよ．ただし，eは自然対数の底とする．
(1)y=f(x)はx=kのとき最小値mをとる．このとき，kとmをcの式で表せ．
(2)kを(1)で求めた値とする．このとき，定積分
T=∫k^{-c}f(x)dx
をcの式で表せ．
(3)Tを(2)で求めた値とする．区間-c≦x≦0において，曲線y=f(x)，x軸およびy軸のすべてで囲まれた部分の面積をSとする．S=\frac{e}{2-e}Tとなるときのcの値を求めよ．