「積分」について

　国立 高知大学 2011年 第3問

連続関数f(x)に対して，
g(x)=∫0x(f(t)+2)sin(x-t)dt
とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)定積分∫0x(t+2)sin(x-t)dtを求めよ．
(2)g(x)=sinx∫0x(f(t)+2)costdt-cosx∫0x(f(t)+2)sintdtを示せ．
(3)関数g(x)の導関数g´(x)はg´(x)=∫0x(f(t)+2)cos(x-t)dtとなることを示せ．
(4)関数g´(x)の導関数g^{\prime\prime}(x)はg^{\prime\prime}(x)=f(x)-g(x・・・

　国立 宮城教育大学 2011年 第5問

次の問いに答えよ．
(1)定積分S=∫_{-π}^{π}(x-asin3x)2dxが最小になるようなaの値と，そのときのSを求めよ．
(2)定積分T=∫_{-π}^{π}(sin3x-px-qx2)2dxが最小になるようなp,qの値と，そのときのTを求めよ．

　国立 長崎大学 2011年 第5問

次の問いに答えよ．
(1)楕円\frac{x2}{3}+y2=1上の点(1,\frac{√6}{3})における接線の方程式を求めよ．
(2)θがtanθ=1/5および0＜θ＜π/4を満たすとき，tan2θとtan4θの値を求めよ．また，4θ=π/4+αとおくとき，tanαの値を求めよ．
(3)\lim_{n→∞}(\frac{n}{n2+12}+\frac{n}{n2+22}+・・・・・・

　国立 愛媛大学 2011年 第3問

自然数nを定数として，さいころを投げる次の競技を行う．この競技は，{\bf試行}1と{\bf試行}2からなる．競技者は，はじめに{\bf試行}1を行う．
\begin{screen}
\mon[{\bf試行}1]さいころを投げ，出た目の数をXとする．Xの値に応じて次の手順に従う．
\mon[\bullet]X=1,2,3,4,5の場合
Xの値を得点として競技を終了する．
\mon[\bullet]X=6の場合
もしn=1ならば，7を得点として競技を終了する．
(★)もしn≧2ならば，{\bf試行}2に進む．
\end・・・

　国立 愛媛大学 2011年 第4問

関数f(x)=-xlogx-(1-x)log(1-x)(0＜x＜1)について次の問いに答えよ．ただし，必要ならば\lim_{x→+0}xlogx=0を使ってよい．
(1)y=f(x)の増減，極値，グラフの凹凸，\lim_{x→+0}f(x),\lim_{x→1-0}f(x)を調べ，そのグラフをかけ．
(2)定積分S(p)=∫p^{1-p}f(x)dxを求めよ．ただし，0＜p＜1/2とする．
(3)極限\lim_{p→+0}S(p)を求めよ．

　国立 浜松医科大学 2011年 第3問

実数kはπ/3≦k≦π/2の範囲にあるとする．
\begin{array}{ll}
f(x)=∫_{-k}ksin(x-t)costdt&(-k≦x≦k)\
g(x)=∫_{-k}k|sin(x-t)|costdt&(-k≦x≦k)
\end{array}
と定めるとき，以下の問いに答えよ．
(1)f(π/6)とg(-π/6)，2つの定積分の値をそれぞれ求めよ．
(2)差f(x)-g(x)は，区間-k≦x≦kで増加・・・

　国立 山梨大学 2011年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)実数xに対して[x]をm≦x＜m+1を満たす整数mとする．このとき
\lim_{n→∞}\frac{[10^{2n}π]}{10^{2n}}
を求めよ．
(2)y=log\frac{\sqrt{1+ex}-1}{\sqrt{1+ex}+1}を微分せよ．
(3)0＜x＜πにおいてsinx+sin2x=0を満たすxを求めよ．また，定積分∫0^π|sinx+sin2x|dxを求めよ．
(4)Aを2次正方行列とする．A2-2011A+E=OならばAは逆行列を持つことを示せ．ただし，Eは単位行列，Oは零行・・・

　国立 防衛大学校 2011年 第5問

次の問に答えよ．
(1)定積分I=∫0^{π/2}cos2tcos4tdtの値を求めよ．
(2)次の等式がtについての恒等式となるように，定数a,b,c,dの値を定めよ．
sin4tcos2t=a+bcos2t+ccos4t+dcos2tcos4t
(3)x=cos3tとおいて，定積分J=∫01(1-x^{2/3})^{3/2}dxの値を求めよ．

　国立 東京海洋大学 2011年 第3問

aを正の定数とする．関数f(x)=x(a-x)，g(x)=x2(a-x)に対し，2つの曲線C1:y=f(x)，C2:y=g(x)を考える．以下の問いに答えよ．
ただし，∫x3dx=\frac{x4}{4}+C（Cは積分定数）を用いてよい．
(1)g(x)の極値をaを用いて表せ．
(2)0＜a≦1とする．C1とx軸で囲まれた図形の面積が，C2とx軸で囲まれた図形の面積の3倍になるとき，aの値を求めよ．
(3)a＞1とする．2曲線C1,C2で囲まれてできる2つの図形の面積が等しくなると・・・

　私立 南山大学 2011年 第1問

[]の中に答を入れよ．
(1)8^{n-1}＜10^{39}＜8nを満たす自然数nの値は[ア]である．ただし，log_{10}2=0.3010とする．
(2)△ABCの3辺の長さがa=9，b=8，c=7であるとき，sinA=[イ]であり，この三角形の面積は[ウ]である．
(3)2次方程式x2+kx+3=0の1つの解がα=\frac{3-√3i}{2}であるとき，実数kの値は[エ]である．また，α5+α3+1の値を求めると[オ]である．
(4)定積分\displaystyl・・・