「積分」について

　私立 龍谷大学 2011年 第1問

次の問いに答えなさい．
(1)(a2+b+2)8を展開したときのa6b2の係数を求めなさい．
(2)等式\lim_{x→1}\frac{\sqrt{x+3}-a}{x-1}=bを満たす実数a,bを求めなさい．
(3)定積分∫1e\frac{(logx)2}{x}dxを求めなさい．

　私立 立教大学 2011年 第3問

座標平面上の2つの曲線y=\frac{ex+e^{-x}}{2}，y=\frac{ex-e^{-x}}{2}を，それぞれC1，C2とする．0以上の実数tに対して，x座標がtである点におけるC1の接線をℓ1，x座標がtである点におけるC2の接線をℓ2とする．ℓ1とℓ2との交点をP，ℓ1とy軸との交点をQ，ℓ2とy軸との交点をRとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)点Pの座標をtを用いて表せ．
(2)三角形PQRの面積をS(t)・・・

　私立 立教大学 2011年 第1問

次の空欄ア～ソに当てはまる数または式を記入せよ．
(1)xが0＜x＜1とx2+\frac{1}{x2}=3を満たすとき，x3の値は[ア]である．
(2)不等式log5(\frac{x+1}{2})+log5(x-4)＜2の解は[イ]＜x＜[ウ]である．
(3)√3sinθ-cosθ＞1(-π＜θ＜π)を満たすθの範囲は，[エ]＜θ＜[オ]である．
(4)3次方程式x3+3x2-24x-a=0が，異なる3つの実数解をもつような定数aの値の範囲は，\kak・・・

　私立 北海道医療大学 2011年 第3問

関数f(x)=-x2+4x-3とg(x)=kx-3がある．ただし，kは定数で，k＜4とする．また，座標平面上の放物線y=f(x)とx軸の共有点のx座標を，a1,a2とし（ただし，a1＜a2とする），放物線y=f(x)と直線y=g(x)の共有点のx座標をb1,b2とする（ただし，b1＜b2とする）．以下の問に答えよ．
(1)a1,a2,b1,b2の値を求めよ．
(2)点(0,f(0))におけるy=f(x)の接線の方程式を求めよ．
(3)次の図形の面積を求めよ．
\mon[①]放物線y=f(x)とx軸とで囲・・・

　私立 藤田保健衛生大学 2011年 第4問

次の問いに答えよ．
(1)m(x)=\frac{m0}{\sqrt{1-\frac{x}{c2}}}とする．ただしm0,cは正の定数である．またc2より十分小さい正の定数\varepsilonに対して0＜x＜\varepsilonとする．
(i)m´(x)=[]である．
(ii)m(x)-m0を平均値の定理を用いて表すと[*]である．ただし*を書き表わす際，新たに必要となる実数があればkを用い，kが満たすべき条件も明記せよ．
(iii)\varepsilon・・・

　私立 中央大学 2011年 第3問

c0,・・・,c3を係数とする3次関数f(x)=c3x3+c2x2+c1x+c0は，4つの条件
f(0)=a,f´(0)=1,f(1)=b,f(-1)=1
を満たしている．ここでaおよびbは実数でb≠3であり，f´(x)はf(x)の導関数を表す．このとき，以下の設問に答えよ．
(1)f(x)をa,bを用いて表せ．
(2)3次関数f(x)に対し，2次関数g(x)と定積分Sを
g(x)=f(x)-c3x3,S=∫_{-1}1g(x)dx
と定める．定積分Sの値をa,bを用いて表せ．
(3)a,bが3つの・・・

　私立 大同大学 2011年 第5問

次の問いに答えよ．
(1)\frac{x3(x-1)2}{x2+1}=x3+px2+qx+r+\frac{s}{x2+1}をみたす定数p,q,r,sの値を求めよ．
(2)置換積分法により，x=tanθとおいて∫01\frac{dx}{x2+1}の値を求めよ．
(3)\frac{x3(x-1)2}{x2+1}≧\frac{x3(x-1)2}{k}(0≦x≦1)をみたす最小の正の定数kの値を求めよ．
(4)上の(1)，(2)，(3)の結果を使って，π＜63/20を示せ．

　私立 中央大学 2011年 第3問

a＞0，b＞1である定数a,bに対して，関数f(x)を
f(x)=|\abs{ax-1|-b}
と定め，定積分Sを
S=∫01f(x)dx
とする．このとき以下の設問に答えよ．
(1)0＜a＜1の場合，Sをa,bを用いて表せ．
(2)1≦a＜b+1の場合，Sをa,bを用いて表せ．
(3)a≧b+1の場合，Sをa,bを用いて表せ．

　私立 産業医科大学 2011年 第1問

空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを記入しなさい．
(1)角θが0°≦θ≦{90}°，tanθ=4/3を満たすとき，tanθ/2の値は[]である．
(2)4次方程式2x4+7x3+4x2+7x+2=0の実数解のうち最大のものは[]である．
(3)数列の極限\lim_{n→∞}{\sqrt[3]{(n3-n2)2}-2n\sqrt[3]{n3-n2}+n2}の値は[]である．
(4)円x2-8x+y2-8y+30=0に接する傾き1の2・・・

　私立 青山学院大学 2011年 第4問

実数aについて，次の定積分を考える．
I(a)=∫0^{π/2}(sinx-ax)2dx
(1)不定積分∫xsinxdxを求めよ．
(2)I(a)を求めよ．
(3)aがa≧0の範囲を動くとき，I(a)の最小値を求めよ．