「積分」について

　私立 玉川大学 2011年 第4問

定積分I=∫ab(x-a)(x-b)(x-c)dxについて答えよ．ただし，m=\frac{a+b}{2}，h=\frac{b-a}{2}，a≠bとする．
(1)(x-a)(x-b)(x-c)をc,m,h,tのみで表せ．ここで，tはt=x-mである．
(2)定積分Iをt=x-mと変数変換して求めよ．
(3)I=0のとき，a,b,cにどのような関係があるか求めよ．

　公立 高崎経済大学 2011年 第1問

以下の各問いに答えよ．
(1)次の方程式を解け．
|x+3|=2x
(2)aを素数とする．2次方程式x2-ax+66=0の2つの解のうち，ただ1つのみが素数であるとき，aの値を求めよ．
(3)△ABCにおいて，A=60°，外接円の半径Rが7のとき，BCの長さを求めよ．
(4)log_{10}2=0.3010,log_{10}3=0.4771とする．12^{20}は何桁の整数か．
(5)15本のくじの中に当たりくじが3本ある．この中から2本のくじを同時に引くとき，少なくとも1本が当たる確率・・・

　公立 岡山県立大学 2011年 第4問

次の定積分を求めよ．
(1)∫1e\frac{logx}{x{1+(logx)2}}\;dx
(2)∫0^πx2cosnx\;dx(n　は自然数　)
(3)∫01cosmπx\;cosnπx\;dx(m,n　は0以上の整数　)

　公立 広島市立大学 2011年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)A=\biggl(\begin{array}{cc}
7&-3\\
-3&1
\end{array}\biggr),B=\biggl(\begin{array}{c}
2\\
-4
\end{array}\biggr)とするとき，Aの逆行列A^{-1}とBの積A^{-1}Bを計算せよ．
(2)次の関数の導関数を求めよ．
y=x^{1+1/x}(x＞0)
(3)次の積分を求めよ．
\mon[(i)]∫\frac{x2+1}{x+1}dx
\mon[(ii)]∫01\frac{dx}{(x2+1)2}

　公立 大阪府立大学 2011年 第2問

f(x)=e^{-x}cosxとする．
(1)e^{-x}sinx-e^{-x}cosxを微分せよ．
(2)定積分∫0^{π/2}f(x)dxを求めよ．
(3)自然数nに対して，
Sn=1/n{f(π/2n)+f(\frac{2π}{2n})+f(\frac{3π}{2n})+・・・+f(\frac{nπ}{2n})}
とおく．次の式が成り立つことを示せ．
Sn＜2/π∫0^{π/2}f(x)dx＜Sn+1/n
(4)\lim_{・・・

　公立 大阪府立大学 2011年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)不定積分
I1=∫logxdx,I2=∫(logx)2dx
をそれぞれ求めよ．ただし，積分定数は省略してよい．
(2)2曲線y=log(x+1),y=log2xとx軸とで囲まれた図形をx軸のまわりに1回転してできる立体の体積Vを求めよ．

　公立 会津大学 2011年 第1問

(1)，(2)の問いに答えよ．また，(3)から(5)までの空欄をうめよ．
(1)次の積分を求めよ．ただし，積分定数は省略してもよい．
(i)∫xsinx2dx=[イ]
(ii)∫02xexdx=[ロ]
(2)次の極限を求めよ．
\lim_{n→∞}\frac{3n+4n}{3^{n+1}+4^{n+1}}=[ハ]
(3)-π/2≦x≦π/2において3sinx+cos2x+1=0のとき，・・・

　公立 公立はこだて未来大学 2011年 第7問

数列{an}の一般項を
an=∫0^{nπ}e^{-x}sinxdx(n=1,2,3,・・・)
で定めるとき，以下の問いに答えよ．
(1)sinx=(-cosx)´を用いた部分積分法により，
an=An-∫0^{nπ}e^{-x}cosxdx(n=1,2,3,・・・)
となるときのAnを求めよ．
(2)(1)で求めたAnについて，an=\frac{An}{2}が成り立つことを示せ．
(3)\lim_{n→∞}anを求めよ．

　公立 九州歯科大学 2011年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)|ベクトルa|=2|ベクトルb|=4をみたす2つのベクトルベクトルaとベクトルbに対してベクトルc=ベクトルa+ベクトルbとベクトルd=4ベクトルa-3ベクトルbが直交するとき，|ベクトルa-ベクトルb|の値を求めよ．
(2)定積分I=∫_{-1}2|x3-3x2+2x|dxの値を求めよ．
(3)10個の数0,1,2,3,4,5,6,7,8,9の中から異なる数字を選んで4けたの数を作るとき，この4けたの数が25の倍数となるのは何通りあるか．

　公立 名古屋市立大学 2011年 第2問

半径1の円が直線上を一定の速さa(a＞0)で滑らないように回転しながら進んでいる．時刻0において直線と接している円周上の点をP，時刻0からtまでに円が回転した角度をθとする．次の問いに答えよ．
(1)時刻tにおけるPの速度ベクトルの大きさ|ベクトルv(t)|を求めよ．
(2)積分∫0^{\frac{2π}{a}}|ベクトルv(t)|dtを求めよ．