タグ「積分」の検索結果
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関数f(x)={
\begin{array}{l}
sinπx\phantom{0}(0≦x≦1)\\
0\phantom{sinπx}(x＜0,x＞1)
\end{array}
.を用いて，すべての実数tに対して，関数g(t)=∫01f(t/3-x)dxを定義する．このとき，g(t)と定積分∫_{-1}1g(t)dtを求めよ．
国立 宮崎大学 2010年 第1問次の各問に答えよ．
\vspace*{-6mm}
\begin{spacing}{2.2}
(1)次の関数を微分せよ．
(2)y=e^{sinxcosx}
(3)y=\frac{x}{\sqrt{x2+3}}
(4)次の定積分の値を求めよ．
(5)∫_{logπ}^{log(2π)}exsin(ex)dx
\mon∫01e^{2x}(x+1)dx
\mon∫0^πsinxcos(4x)dx
\mon∫_{-1}0\frac{x+1}{(x+2)(x+3)}dx
・・・
国立 岡山大学 2010年 第3問原点を中心とする半径1の円をC1とし，原点を中心とする半径1/2の円をC2とする．C1上に点P1(cosθ,sinθ)があり，また，C2上に点P2(1/2cos3θ,1/2sin3θ)がある．ただし，0≦θ＜π/2であるとする．線分P1P2の中点をQとし，点Qの原点からの距離をr(θ)とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)点Qのx座標の取りうる範囲を求めよ．
(2)点Qがy軸上にあるとき・・・
国立 宮崎大学 2010年 第4問定積分
In=∫1^{√e}(logx)ndx(n=1,2,3,・・・)
について，次の各問に答えよ．
(1)I1の値を求めよ．
(2)等式
I_{n+1}=√e(1/2)^{n+1}-(n+1)In(n=1,2,3,・・・)
が成り立つことを示せ．
(3)すべての自然数nについて，等式
In=(-1)^{n-1}n!+√eΣ_{m=0}n(-1)^{n-m}n!/m!(1/2)m
が成り立つことを，数学的帰納法を用いて証明せよ．ただし，0!=1とする．
国立 宮崎大学 2010年 第5問定積分
In=∫1^{√e}(logx)ndx(n=1,2,3,・・・)
について，次の各問に答えよ．
(1)I1の値を求めよ．
(2)等式
I_{n+1}=√e(1/2)^{n+1}-(n+1)In(n=1,2,3,・・・)
が成り立つことを示せ．
(3)すべての自然数nについて，等式
In=(-1)^{n-1}n!+√eΣ_{m=0}n(-1)^{n-m}n!/m!(1/2)m
が成り立つことを，数学的帰納法を用いて証明せよ．ただし，0!=1とする．
国立 宮崎大学 2010年 第5問次の各問に答えよ．
\vspace*{-6mm}
\begin{spacing}{2.2}
(1)次の関数を微分せよ．
(2)y=e^{sinxcosx}
(3)y=\frac{x}{\sqrt{x2+3}}
(4)次の定積分の値を求めよ．
(5)∫_{logπ}^{log(2π)}exsin(ex)dx
\mon∫01e^{2x}(x+1)dx
\mon∫0^πsinxcos(4x)dx
\mon∫_{-1}0\frac{x+1}{(x+2)(x+3)}dx
・・・
国立 大分大学 2010年 第4問0＜k＜1である定数kについて，
\begin{eqnarray}
&&f(x)=cosx-k\nonumber\\
&&g(x)=sinx-ktanx\nonumber
\end{eqnarray}
とおく．
(1)0＜x＜π/2で，方程式f(x)=0は，ただ1つの実数解をもつことを示しなさい．
(2)0＜x＜π/2で，方程式g(x)=0は，ただ1つの実数解をもつことを示しなさい．
(3)(2)での実数解をαとする．定積分
∫0^αg(x)dx
をkの式で表しなさい．
国立 鳥取大学 2010年 第3問定積分In=∫1e(logx)ndxについて，次の問いに答えよ．ただし，nは自然数，eは自然対数の底とする．
(1)関数f(x)=x(logx)nの導関数を求めよ．
(2)I1を求めよ．
(3)InとI_{n+1}の間に成立する関係式を求めよ．
(4)(3)で求めた関係式を用いてI4を求めよ．
国立 鳥取大学 2010年 第2問定積分In=∫1e(logx)ndxについて，次の問いに答えよ．ただし，nは自然数，eは自然対数の底とする．
(1)関数f(x)=x(logx)nの導関数を求めよ．
(2)I1を求めよ．
(3)InとI_{n+1}の間に成立する関係式を求めよ．
(4)(3)で求めた関係式を用いてI4を求めよ．
国立 京都工芸繊維大学 2010年 第4問次の問いに答えよ．
(1)不定積分∫\frac{1}{1+ex}dxを求めよ．
(2)実数aに対して定積分∫02|\frac{1}{1+ex}-\frac{1}{1+ea}|dxの値をS(a)とおく．aが0≦a≦2の範囲を動くとき，S(a)の最小値を求めよ．
