「積分」について

　国立 山形大学 2010年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)f(x)=x4-12x2+8のとき，f(x)+f^{\prime\prime}(x)=0によって表される4次方程式の実数解を求めよ．
(2)sin19/12πの値を求めよ．
(3)定積分∫0^πxsin2xdxを求めよ．

　国立 防衛大学校 2010年 第2問

関数f(x)=\frac{a(-3x2+x+4)-7b(x-2)}{3x3-7x2-2x+8}について，次の問に答えよ．ただし，a,bは0でない定数とする．
(1)f(x)=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{3x-4}(A,B,C　は定数　)となるとき，A,B,Cをaとbの式で表せ．
(2)2a+7b=0のとき，f(x)=0の解x1,x2(x1＜x2)を求めよ．
(3)(2)においてa=7とするとき，定積分I=∫_{x1}^{x2}f(x)dxを求めよ．

　国立 防衛大学校 2010年 第5問

実数xに対して，t=ex+e^{-x}とするとき，次の問に答えよ．
(1)tのとり得る値の最小値mを求めよ．
(2)e^{2x}+e^{-2x}をtの式で表せ．
(3)t=ex+e^{-x}とおいて置換積分することにより，定積分I=∫_{log2}^{log4}\frac{2ex-2e^{-x}}{e^{2x}+e^{-2x}+1}dxを求めよ．
(4)定数aに対して，∫_{a}^{2a}\frac{2ex-2e^{-x}}{e^{2x}+e^{-2x}+1}dx=log3/2となるとき，ea+e^{-a}の値を求めよ．（aの値は求めなくてよい．）

　国立 防衛医科大学校 2010年 第2問

以下の問に答えよ．
(1)0＜x＜1で，(√2-1)x+1＜\sqrt{1+x}＜√2が成り立つことを示せ．
(2)0＜a＜1に対して定積分∫a1\sqrt{1-x}dx，∫a1x\sqrt{1-x}dxを計算せよ．
(3)極限値\lim_{a→1-0}\frac{∫a1\sqrt{1-x2}dx}{(1-a)^{3/2}}を求めよ．

　国立 大阪教育大学 2010年 第2問

自然数nに対して，
In=∫0^{π/2}sinnxdx
とおく．次の問に答えよ．
(1)定積分I1,I2,I3を求めよ．
(2)次の不等式を証明せよ．
In≧I_{n+1}
(3)次の漸化式が成り立つことを証明せよ．
I_{n+2}=\frac{n+1}{n+2}In
(4)次の極限値を求めよ．
\lim_{n→∞}\frac{I_{2n+1}}{I_{2n}}

　国立 愛媛大学 2010年 第8問

nを自然数とし，f(x)=x2e^{-2/3x3}とする．
(1)関数y=f(x)の増減を調べ，極値を求めよ．
(2)定積分∫1nf(x)dxを求めよ．
(3)不等式Σ_{k=1}nf(k)＜3/2e^{-2/3}を証明せよ．

　国立 東京農工大学 2010年 第3問

座標平面上を運動する点Pの時刻tにおける座標(x,y)が
x=2cost,y=√3sint
で与えられているとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)時刻tにおける点Pの速度ベクトルvと速さ|ベクトルv|を求めよ．
(2)f(t)=-2cost+d/dt|ベクトルv|2とおく．0≦t≦2πにおけるf(t)の最大値，最小値を求め，そのときのtの値を求めよ．
(3)(2)の関数f(t)について定積分I=∫0^{π/2}\frac{f(t)}{|ベクトルv|2}dt・・・

　国立 室蘭工業大学 2010年 第2問

関数g(x)は微分可能であるとし，関数f(x)をf(x)=∫_{-π}^π{t-g(x)sint}2dtと定める．
(1)定積分∫_{-π}^πtsintdt,∫_{-π}^πsin2tdtの値を求めよ．
(2)f´(x)をg(x),g´(x)を用いて表せ．
(3)g(x)=x3-3xであるとき，f(x)の極大値を求めよ．

　国立 宮城教育大学 2010年 第5問

関数f(x)=∫_αx(t-α)cos(x-t)dtを考える．ただし，αは定数とする．次の問いに答えよ．
(1)xを定数とみて，u=x-tとおく．置換積分法を用いて，
∫_αx(t-α)cos(x-t)dt=∫0^{x-α}(x-α-u)cosudu
となることを示せ．
(2)導関数f´(x)を求めよ．
(3)関数f(x)を求めよ．
(4)曲線y=f(x)(α≦x≦α+2π)とx軸で囲まれた部分を，x軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ．
\end{・・・

　国立 京都教育大学 2010年 第6問

次の問に答えよ．
(1)次の定積分の値を計算せよ．
∫0^{1/2}\frac{1}{1-x2}dx
(2)0＜x＜πとする．関数y=\frac{1}{sinx}の極値を調べグラフの概形をかけ．
(3)y=\frac{1}{sinx}が表す曲線と3直線y=1/2,x=π/3,x=π/2で囲まれた図形の面積を求めよ．