「積分」について

　国立 山梨大学 2010年 第5問

関数f(x)をf(x)=log(x+1)+sinaxと定義する．ただし，x≧0であり，aは正の定数である．
(1)f(e-1)=0を満たす最も小さいaの値を求めよ．
(2)(1)で求めたaの値を使って，定積分∫0^{\frac{2(e-1)}{3}}f(x)dxを求めよ．
(3)a=\frac{2π}{e-1}とするとき，方程式f(x)=0は0＜x＜\frac{3(e-1)}{4}の範囲に解を持つことを証明せよ．

　国立 山梨大学 2010年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)第n項が次の式で表される数列の極限を求めよ．
\frac{√n(\sqrt{n+1}-\sqrt{n+2})(5^{n+2}+2^{2n-1})}{5n+2^{2n}}
(2)次の関数を微分せよ．f(x)=\sqrt{(\frac{x-1}{x2+3})3}
(3)定積分∫0^{π/2}xsin(2x-π/4)dxを求めよ．
(4)定積分∫04\frac{x}{\sqrt{2x+1}}dxを求めよ．

　私立 早稲田大学 2010年 第4問

xyz空間において，2点P(1,0,1)，Q(-1,1,0)を考える．線分PQをx軸の周りに1回転して得られる曲面をSとする．以下の問に答えよ．
(1)曲面Sと，2つの平面x=1およびx=-1で囲まれる立体の体積を求めよ．
(2)(1)の立体の平面y=0による切り口を，平面y=0上において図示せよ．
(3)定積分∫01\sqrt{t2+1}dtの値をt=\frac{es-e^{-s}}{2}と置換することによって求めよ．
これを用いて，(2)の切り口の面積を求めよ．

　私立 学習院大学 2010年 第4問

次の問いに答えよ．
(1)aを正の実数とする．定積分
F(a)=∫01\frac{ax2+(a2+2a)x+2a2-2a+4}{(x+a)(x+2)}dx
を求めよ．
(2)aが正の実数全体を動くとき，F(a)の最小値と，最小値を与えるaの値を求めよ．

　私立 東京電機大学 2010年 第1問

次の各問に答えよ．
(1)3つの数a,a+6,2a+17がこの順に等比数列となるようなaの値をすべて求めよ．
(2)不等式(1/2)^{1-x2}＜(2√2)^{x-1}をみたすxの範囲を求めよ．
(3)方程式sin2x+2cos2x+3cosx+1=0(0≦x＜2π)をみたすxを求めよ．
(4)無限級数1/2+5/3+\frac{1}{22}+\frac{5}{32}+\frac{1}{23}+\frac{5}{33}+・・・の和を求めよ．
(5)定積分∫0^{π/2}(2x+1)\s・・・

　私立 東京電機大学 2010年 第4問

次の各問に答えよ．
(1)3つの数a,a+6,2a+17がこの順に等比数列となるようなaの値をすべて求めよ．
(2)不等式(1/2)^{1-x2}＜(2√2)^{x-1}をみたすxの範囲を求めよ．
(3)方程式sin2x+2cos2x+3cosx+1=0(0≦x＜2π)をみたすxを求めよ．
(4)曲線y=x3-3x2+kがx軸と異なる3点で交わるような定数kの値の範囲を求めよ．
(5)定積分∫_{-2}2|x-1|(3x+1)dxを求めよ．

　公立 高崎経済大学 2010年 第1問

以下の各問に答えよ．
(1)7x=49^{1-x}を解け．
(2)x=\frac{√5-3}{2}のとき，x4+x2の値を求めよ．
(3)次の定積分を求めよ．
∫_{-2}0(2x2-x)dx-∫10(2x2-x)dx
(4)関数y=(2x-1)(x2+2x-1)を微分せよ．
(5)3log_{1/2}3,2log_{1/2}5,5/2log_{1/2}4の3数の大小を比較せよ．
\monベクトルa=(1,-1),ベクトルb=(-4,-3)のとき，2ベクトルa+2ベクトルbの大きさを求めよ．
\mon初項か・・・

　公立 岡山県立大学 2010年 第4問

次の不定積分および定積分を求めよ．
(1)∫sin(π/4+x)sin(π/4-x)cosxdx
(2)∫\frac{xlog(x2+1)}{x2+1}dx
(3)∫01\frac{ex}{2+3ex+e^{2x}}dx

　公立 大阪府立大学 2010年 第4問

次の問いに答えよ．
(1)aを正の定数とするとき，関数
f(x)=log(x+\sqrt{a+x2})
の導関数f´(x)を求めよ．
(2)t=√3tanθとおくことにより，定積分
I=∫01\frac{dt}{\sqrt{(3+t2)3}}
を求めよ．
(3)0≦x≦1であるすべてのxに対して，不等式
∫0x\frac{dt}{\sqrt{(3+t2)3}}≧k∫0x\frac{dt}{\sqrt{3+t2}}
が成り立つための実数kの範囲を求めよ．ただし，log3=1.10とする．

　公立 会津大学 2010年 第1問

(1)の問いに答えよ．また，(2)から(6)までの空欄をうめよ．
(1)次の積分を求めよ．ただし，積分定数は省略してもよい．
(i)∫1exlogxdx=[]
(ii)∫sin3xcosxdx=[]
(2)y=\sqrt[5]{2x-1}のとき，dy/dx=[]である．
(3)方程式2^{x2-1}4^{x+2}=8^{x+3}の解はx=[]である．
(4)方程式log3(x-5)=2-log3(x+3)の解はx=[]・・・