「積分」について
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(4ページ目:全251問中31問~40問を表示)I=∫0^{π/2}\frac{cos3x}{cosx+sinx}dx,J=∫0^{π/2}\frac{sin3x}{cosx+sinx}dxとする.このとき,次の問いに答えよ.国立 新潟大学 2014年 第4問
(1)x=π/2-tとおいて置換積分法を用いることで,I=Jを示せ.
(2)I+Jの値を求めよ.
(3)IとJの値を求めよ.
関数f(x)=(-4x2+2)e^{-x2}について,次の問いに答えよ.国立 新潟大学 2014年 第5問
(1)f(x)の極値を求めよ.
(2)aをa≧0となる実数とし,I(a)=∫0ae^{-x2}dxとする.このとき,定積分∫0ax2e^{-x2}dxをa,I(a)を用いて表せ.
(3)曲線y=f(x),x軸,y軸および直線x=5で囲まれる部分の面積を求めよ.
自然数nに対して,an=∫01\frac{x2+(-x2)^{n+1}}{1+x2}dxとおく.このとき,次の問いに答えよ.国立 名古屋工業大学 2014年 第1問
(1)自然数nに対して,不等式
|∫01\frac{x2|{1+x2}dx-an}≦\frac{1}{2n+3}
が成り立つことを示せ.
(2)定積分∫01\frac{x2}{1+x2}dxを求めよ.
(3)自然数nに対して,an=Σ_{k=1}n\frac{(-1)^{k+1}}{2k+1}となることを示せ.
(4)極限値\displayst・・・
以下の問いに答えよ.国立 琉球大学 2014年 第1問
(1)r≠1のときSn=r+2r2+3r3+・・・+nrnを求めよ.
(2)x>0に対して
fn(x)=e^{-x}+2e^{-2x}+3e^{-3x}+・・・+ne^{-nx}
とおく.極限f(x)=\lim_{n→∞}fn(x)を求めよ.ただし\lim_{t→∞}te^{-t}=0であることを用いてもよい.
(3)(2)で得られた関数f(x)について,不定積分∫f(x)dxを求めよ.
(4)(2)で得られた関数f(x)について,定積分∫_{log2}^{log3}xf(x)dx・・・
次の問いに答えよ.国立 宮崎大学 2014年 第1問
(1)定積分∫0^{π/4}xcos2xdxを求めよ.
(2)AB=AC=1である二等辺三角形ABCにおいて,BC=2x,内接円の半径をrとおく.
\mon[①]rをxを用いて表せ.
\mon[②]rが最大となるxの値を求めよ(最大値そのものは求める必要はない).
次の各問に答えよ.ただし,eは自然対数の底を表す.国立 奈良女子大学 2014年 第3問
(1)次の関数を微分せよ.
(i)y=\frac{cosx}{1-sinx}\qquad(ii)y=(x+2)\sqrt{x2+2x+5}
(2)次の定積分の値を求めよ.
(i)∫12\frac{ex+e^{-x}}{ex-e^{-x}}dx
(ii)∫0^{π/6}sin(3x)sin(5x)dx
(iii)∫01\frac{x3+3x2}{x2+3x+2}dx
\vspace{・・・
関数f(x)=4sinx+2cos2x+1(0≦x≦2π)について,以下の問いに答えよ.国立 愛知教育大学 2014年 第9問
(1)f(x)の極値を求めよ.
(2)定積分∫0^{2π}f(x)dxを求めよ.
(3)定積分∫0^{2π}|f(x)|dxを求めよ.
1≦t≦eとする.定積分S(t)=∫1e|x-t|\frac{logx}{x}dxを最小にするtの値を求めよ.ただし,logは自然対数を表し,eは自然対数の底を表す.国立 東京海洋大学 2014年 第3問
座標平面上の曲線C:y=x3-xを考える.C上の点(-a,-a3+a)と(a,a3-a)(a>0)におけるCの接線をそれぞれℓ1,ℓ2とする.また,ℓ1とCとの(-a,-a3+a)以外の共有点をP1,ℓ2とCとの(a,a3-a)以外の共有点をP2とする.さらに,P2を通りy軸に平行な直線とℓ1の交点をQ1,P1を通りy軸に平行な直線とℓ2の交点をQ2とする.国立 山形大学 2014年 第3問
(1)P1,P2,Q1,Q2の座標を求めよ.
\m・・・
次の問に答えよ.
(1)不定積分∫tsintdtを求めよ.
(2)定積分∫0^{π/2}|2/3π-2t|sintdtを求めよ.
(3)関数f(x)をf(x)=∫0^{π/2}|x-2t|sintdtで定める(0≦x≦π).f(x)の最大値,最小値を求め,それらを与えるxの値をそれぞれ求めよ.