「積分」について
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(5ページ目:全251問中41問~50問を表示)次の問いに答えよ.
(1)3次方程式x3-3x+1=0は相異なる3つの実数解をもつことを示せ.
(2)x3-3x+1=0の解で最小のものをα,最大のものをβとする.このとき,次の定積分の値を求めよ.
∫_α^β|x2-1|dx
![宮崎大学](./img/univ/miyazaki.png)
次の各問に答えよ.ただし,eは自然対数の底を表す.
(1)次の関数を微分せよ.
(i)y=\frac{cosx}{1-sinx}\qquad(ii)y=(x+2)\sqrt{x2+2x+5}
(2)次の定積分の値を求めよ.
(i)∫12\frac{ex+e^{-x}}{ex-e^{-x}}dx
(ii)∫0^{π/6}sin(3x)sin(5x)dx
(iii)∫01\frac{x3+3x2}{x2+3x+2}dx
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![富山大学](./img/univ/toyama.png)
自然数nに対して,fn(x)=∫0x\frac{dt}{(t2+1)n}とおく.このとき,次の問いに答えよ.
(1)f1(1)を求めよ.
(2)g(x)=f1(1/x)とおく.g´(x)を求め,x>0のとき
f1(x)+g(x)=π/2
が成り立つことを示せ.
(3)\lim_{x→∞}f1(x)を求めよ.
(4)部分積分法を用いて,
fn(x)=\frac{x}{(x2+1)n}+2nfn(x)-2nf_{n+1}(x)
が成り立つことを示せ.
(5)\lim_{x→∞}fn・・・
![秋田大学](./img/univ/akita.png)
原点Oを中心とする半径1の円C上の点をPとし,線分OPとx軸の正の向きとのなす角をθとする.ただし,0≦θ≦π/2とする.また,C上の点Qを,線分OQとx軸の正の向きとのなす角がθ/2となる点とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1)直線OQと直線x=1との交点を(1,t)とするとき,Pの座標をtを用いて表せ.
(2)Pからx軸におろした垂線の交点をHと・・・
![秋田大学](./img/univ/akita.png)
原点Oを中心とする半径1の円C上の点をPとし,線分OPとx軸の正の向きとのなす角をθとする.ただし,0≦θ≦π/2とする.また,C上の点Qを,線分OQとx軸の正の向きとのなす角がθ/2となる点とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1)直線OQと直線x=1との交点を(1,t)とするとき,Pの座標をtを用いて表せ.
(2)Pからx軸におろした垂線の交点をHと・・・
![福井大学](./img/univ/fukui.png)
以下の問いに答えよ.
(1)nを正の整数として,以下の問いに答えよ.ただし,自然対数の底eは無理数であることを証明せずに用いてよい.
(i)等式∫01tnetdt=ane+bnが成り立つ整数an,bnがただ1組存在することを示せ.
(ii)a_{n+1}bn-anb_{n+1}の値を求めよ.
(2)区間[0,π/2]で連続な関数f(x)に対し,等式∫0^{π/2}f(x)dx=\in・・・
![奈良教育大学](./img/univ/narakyouiku.png)
次の定積分を求めよ.
(1)∫02|ex-e|dx
(2)∫1e\frac{logx}{x2}dx
![京都工芸繊維大学](./img/univ/kyotokousen.png)
次の問いに答えよ.
(1)x>0のとき,不等式2-x<(2+x)e^{-x}が成り立つことを証明せよ.
(2)定積分∫0^{1/2}(2-x)dxおよび∫0^{1/2}(2+x)e^{-x}dxの値を求めよ.
(3)(1)と(2)を用いて,不等式3/5<e^{-1/2}<17/28が成り立つことを証明せよ.
![東京学芸大学](./img/univ/tokyogakugei.png)
f(x)を区間[0,1]で定義された連続な関数とする.このとき,定積分
I=∫01[2f(x)log(x+1)-{f(x)}2]dx
について下の問いに答えよ.
(1)Iの値を最大にするようなf(x)を求めよ.
(2)Iの最大値を求めよ.
![自治医科大学](./img/univ/jichi.png)
定積分3∫_{1/e}e\frac{(logx)2}{x}dx(logxは自然対数)の値を求めよ.