「積分」について

　国立 群馬大学 2014年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)3次方程式x3-3x+1=0は相異なる3つの実数解をもつことを示せ．
(2)x3-3x+1=0の解で最小のものをα，最大のものをβとする．このとき，次の定積分の値を求めよ．
∫_α^β|x2-1|dx

　国立 宮崎大学 2014年 第1問

次の各問に答えよ．ただし，eは自然対数の底を表す．
(1)次の関数を微分せよ．
(i)y=\frac{cosx}{1-sinx}\qquad(ii)y=(x+2)\sqrt{x2+2x+5}
(2)次の定積分の値を求めよ．
(i)∫12\frac{ex+e^{-x}}{ex-e^{-x}}dx
(ii)∫0^{π/6}sin(3x)sin(5x)dx
(iii)∫01\frac{x3+3x2}{x2+3x+2}dx
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　国立 富山大学 2014年 第1問

自然数nに対して，fn(x)=∫0x\frac{dt}{(t2+1)n}とおく．このとき，次の問いに答えよ．
(1)f1(1)を求めよ．
(2)g(x)=f1(1/x)とおく．g´(x)を求め，x＞0のとき
f1(x)+g(x)=π/2
が成り立つことを示せ．
(3)\lim_{x→∞}f1(x)を求めよ．
(4)部分積分法を用いて，
fn(x)=\frac{x}{(x2+1)n}+2nfn(x)-2nf_{n+1}(x)
が成り立つことを示せ．
(5)\lim_{x→∞}fn・・・

　国立 秋田大学 2014年 第3問

原点Oを中心とする半径1の円C上の点をPとし，線分OPとx軸の正の向きとのなす角をθとする．ただし，0≦θ≦π/2とする．また，C上の点Qを，線分OQとx軸の正の向きとのなす角がθ/2となる点とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)直線OQと直線x=1との交点を(1,t)とするとき，Pの座標をtを用いて表せ．
(2)Pからx軸におろした垂線の交点をHと・・・

　国立 秋田大学 2014年 第3問

原点Oを中心とする半径1の円C上の点をPとし，線分OPとx軸の正の向きとのなす角をθとする．ただし，0≦θ≦π/2とする．また，C上の点Qを，線分OQとx軸の正の向きとのなす角がθ/2となる点とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)直線OQと直線x=1との交点を(1,t)とするとき，Pの座標をtを用いて表せ．
(2)Pからx軸におろした垂線の交点をHと・・・

　国立 福井大学 2014年 第4問

以下の問いに答えよ．
(1)nを正の整数として，以下の問いに答えよ．ただし，自然対数の底eは無理数であることを証明せずに用いてよい．
(i)等式∫01tnetdt=ane+bnが成り立つ整数an，bnがただ1組存在することを示せ．
(ii)a_{n+1}bn-anb_{n+1}の値を求めよ．
(2)区間[0,π/2]で連続な関数f(x)に対し，等式∫0^{π/2}f(x)dx=\in・・・

　国立 奈良教育大学 2014年 第3問

次の定積分を求めよ．
(1)∫02|ex-e|dx
(2)∫1e\frac{logx}{x2}dx

　国立 京都工芸繊維大学 2014年 第2問

次の問いに答えよ．
(1)x＞0のとき，不等式2-x＜(2+x)e^{-x}が成り立つことを証明せよ．
(2)定積分∫0^{1/2}(2-x)dxおよび∫0^{1/2}(2+x)e^{-x}dxの値を求めよ．
(3)(1)と(2)を用いて，不等式3/5＜e^{-1/2}＜17/28が成り立つことを証明せよ．

　国立 東京学芸大学 2014年 第4問

f(x)を区間[0,1]で定義された連続な関数とする．このとき，定積分
I=∫01[2f(x)log(x+1)-{f(x)}2]dx
について下の問いに答えよ．
(1)Iの値を最大にするようなf(x)を求めよ．
(2)Iの最大値を求めよ．

　私立 自治医科大学 2014年 第24問

定積分3∫_{1/e}e\frac{(logx)2}{x}dx（logxは自然対数）の値を求めよ．