「積分」について

　私立 産業医科大学 2014年 第1問

空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを記入しなさい．
(1)実数xの関数f(x)=|sin2x+2sinx+2cosx|の最大値は[ア]である．
(2)行列A=(\begin{array}{cc}
cosθ&-2sinθ\
1/2sinθ&cosθ
\end{array})が0＜θ＜πの範囲でA5=A2を満たすとき，実数θの値は[イ]である．
(3)定積分∫0^{-1}\frac{x2-1}{x2+1}dxの値は[ウ]である．
(4)nをある自然数とする・・・

　私立 大阪工業大学 2014年 第3問

次の問いに答えよ．
(1)極限値\lim_{α→0}\frac{1-cosα}{α2}を求めよ．
(2)αを0でない実数とするとき，定積分∫02(x+1)cos(αx)dxを求めよ．
(3)(2)で求めた定積分の値をI(α)とするとき，極限値\lim_{α→0}I(α)を求めよ．

　私立 中京大学 2014年 第3問

方程式x4-6x2-4y2+8y+5=0で表される曲線Cについて，次の各問に答えよ．
(1)曲線Cの概形をかけ．
(2)曲線Cで囲まれる部分の周囲の長さを求めよ．なお，曲線y=f(x)(a≦x≦b)の長さは次の積分で求められることを使ってよい．
∫ab\sqrt{1+{f´(x)}2}dx

　私立 南山大学 2014年 第3問

曲線y=e^{-x}cosx上の点(a,e^{-a}cosa)における接線の方程式をy=g(x)とする．
(1)g(x)を求めよ．
(2)定積分A=∫0^{π/2}sinxdxとB=∫0^{π/2}xsinxdxを計算せよ．
(3)定積分S=∫0^{π/2}g(x)sinxdxを計算せよ．
(4)aが0≦a≦πの範囲を動くとき，(3)のSを最大にするaの値を求めよ．

　私立 津田塾大学 2014年 第1問

次の問に答えよ．
(1)1個のサイコロを3回投げるとき，出た目の数の積が3の倍数となる確率を求めよ．
(2)定積分∫0^{π/3}xsinxdxを求めよ．
(3){(\frac{1+√3i}{2})}^{2014}の値を求めよ．

　私立 津田塾大学 2014年 第4問

関数f(x)=\frac{2}{2-x}について，以下の問に答えよ．
(1)y=f(x)のグラフをかけ．
(2)定積分∫01f(x)dxを求めよ．
(3)0≦a≦1とし，点(a,f(a))における曲線y=f(x)の接線をy=g(x)とする．定積分∫01g(x)dxの値Sを最大にするaの値と，そのときのSの値を求めよ．

　私立 早稲田大学 2014年 第4問

関数f(x)を次の積分で定義する．
f(x)=∫x^{x+log2}|e^{2t|-et-2}dt
次の問に答えよ．
(1)g(t)=e^{2t}-et-2のグラフを描け．
(2)f(x)を求めよ．
(3)f(x)が極値をとるxを求めよ．

　私立 大同大学 2014年 第5問

y=x+\sqrt{x2+5}のとき，xをyで表した式をx=f(y)とする．
(1)f(y)を求めよ．
(2)定積分∫_{√5}5f(y)dyの値を求めよ．
(3)曲線y=x+\sqrt{x2+5}，x軸，y軸および直線x=2で囲まれる部分の面積を求めよ．

　私立 成城大学 2014年 第2問

関数f(x)=|x2-1|-2xについて，以下の問いに答えよ．
(1)関数y=f(x)のグラフをかけ．
(2)-2≦x≦2のとき，関数f(x)の最小値とそのときのxの値を求めよ．
(3)定積分∫_{-2}2f(x)dxの値を求めよ．

　公立 大阪市立大学 2014年 第1問

a,bを実数とし，定積分∫0^π(x-a-bcosx)2dxの値をI(a,b)とおく．次の問いに答えよ．
(1)不定積分∫cos2xdxを求めよ．
(2)不定積分∫xcosxdxを求めよ．
(3)I(a,b)をa,bを用いて表せ．
(4)a,bが実数全体を動くときのI(a,b)の最小値，および，I(a,b)が最小値をとるときのa,bの値を求めよ．