「積分」について

　公立 大阪府立大学 2014年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)次の文章の[]に適する答えを記入せよ．
次のように1から5までの数字が書かれたカードを用意する．
\fbox{1}\fbox{2}\fbox{3}\fbox{4}\fbox{5}
それに次のように4の数字が書かれたカードを1枚加える．
\fbox{1}\fbox{2}\fbox{3}\fbox{4}\fbox{5}\fbox{4}
この6枚のカードを1列に並べて6桁の整数をつくる．このとき，つくられる相異なる整数の・・・

　公立 大阪府立大学 2014年 第5問

0＜x≦2πにおいて定義された関数h(x)=\frac{sinx}{x}について，以下の問いに答えよ．
(1)h(x)の最小値を与えるxがただ一つ存在することを示せ．
(2)h(x)の最小値を与えるxの値をbとおく．次の定積分を求めよ．
∫_πbx2h(x)dx
(3)bは17/12π＜b＜3/2πをみたすことを示せ．

　公立 兵庫県立大学 2014年 第1問

関数f(x)=cos3x(0≦x≦2π)について，次の問いに答えよ．
(1)f(x)の増減表をかけ．ただし，凹凸は調べなくてよい．
(2)定積分∫0^{π/4}f(x)sinxdxを求めよ．

　公立 愛知県立大学 2014年 第3問

以下の問いに答えよ．
(1)定積分∫0^πcosmxcosnxdxを求めよ．ただし，m,nは自然数とする．
(2)aとbをa＜bを満たす実数とし，f(x)とg(x)を区間[a,b]で定義された連続な関数とする．また，
∫ab{f(x)}2dx≠0,∫ab{g(x)}2dx≠0
であるとする．このとき，任意の実数tに対して
∫ab{tf(x)+g(x)}2dx≧0
が成り立つことを用いて，次の不等式が成り立つことを示せ．
{∫abf(x)g(x)dx・・・

　公立 会津大学 2014年 第1問

次の空欄をうめよ．
(1)次の積分を求めよ．ただし，積分定数は省略してもよい．
(i)∫\frac{dx}{x(logx)2}=[イ]
(ii)∫_{6π}^{7π}xsinxdx=[ロ]
(iii)∫0^{π/2}cos2xcosxdx=[ハ]
(2)次の極限を求めよ．
\lim_{n→∞}(\sqrt{n(n+3)}-n)=[ニ]
(3)3x=5y=15^{6}をみたす実・・・

　公立 横浜市立大学 2014年 第1問

次の各問いに答えよ．
(1)関数tanxの導関数を求めよ．
(2)不定積分∫tanxdxを求めよ．
(3)X=cos(x/2-π/4)とおくとき，1+sinxをXを用いて表せ．
(4)不定積分∫\frac{dx}{1+sinx}を求めよ．
(5)定積分∫0^{π/2}\frac{x}{1+sinx}dxの値を求めよ．

　公立 奈良県立医科大学 2014年 第10問

次の定積分を求めよ．
∫_{-1}1(x2+x-\frac{x5}{x2+2})dx

　国立 横浜国立大学 2013年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)不定積分∫e^{-x}sin2xdxを求めよ．
(2)定積分∫01\sqrt{1+2√x}dxを求めよ．

　国立 埼玉大学 2013年 第4問

xyz空間における平面y=0上のグラフz=2-x2,(0≦x≦√2)をz軸の周りに回転して得られるものを平面x=aで切りとる．ただし0≦a≦√2とする．そのとき切り口の平面に曲線Gが現れた．G上の点(x,y,z)は，
x=a,z=2-a2-y2(-\sqrt{2-a2}≦y≦\sqrt{2-a2})
をみたす．切り口の平面x=a上において点(a,0,0)と曲線G上の点の距離の最大値をr(a)とする．このとき下記の設問に答えよ．
(1)0≦a≦√2に対してr(a)を・・・

　国立 埼玉大学 2013年 第3問

次の問いに答えよ．
(1)f(x)を区間0≦x≦1で定義された連続関数とする．次の等式が成り立つことを示せ．
∫0^πxf(sinx)dx=π/2∫0^πf(sinx)dx
(2)a＞1とする．(1)を用いて，積分
∫0^π\frac{x(a2-4cos2x)sinx}{a2-cos2x}dx
を求めよ．