「積分」について

　国立 金沢大学 2013年 第3問

実数xに対して，関数f(x)を
f(x)=|x2-6x+5|-x2+4x+5
とおく．次の問いに答えよ．
(1)y=f(x)のグラフをかけ．
(2)0≦x≦6において，f(x)はx=aで最大値f(a)を，x=bで最小値f(b)をとる．a,bおよびf(a),f(b)を求めよ．
(3)(2)で求めたa,bについて，定積分∫abf(x)dxを求めよ．

　国立 新潟大学 2013年 第5問

微分可能な関数f(x)が，すべての実数x,yに対して
f(x)f(y)-f(x+y)=sinxsiny
を満たし，さらにf´(0)=0を満たすとする．次の問いに答えよ．
(1)f(0)を求めよ．
(2)関数f(x)の導関数f´(x)を求めよ．
(3)定積分∫0^{π/3}\frac{dx}{f(x)}を求めよ．

　国立 新潟大学 2013年 第4問

1次関数f(x)=px+qに対して，xの係数pと定数項qを成分にもつベクトル(p,q)をベクトルfとする．つまり，ベクトルf=(p,q)とする．次の問いに答えよ．
(1)定積分
∫_{-√3}^{√3}(kx+l)(mx+n)dx
を求めよ．ただし，k,l,m,nは定数である．
(2)2つの1次関数g(x)とh(x)に対して，等式
\frac{1}{2√3}∫_{-√3}^{√3}g(x)h(x)dx=ベクトルg・ベクトルh
が成り立つことを示せ．ただし，ベクトルg・ベクトルhはベクトル\vec・・・

　国立 東京医科歯科大学 2013年 第3問

m,nを自然数として，関数f(x)=xm(1-x)nを考える．このとき以下の各問いに答えよ．
(1)0≦x≦1におけるf(x)の最大値をm,nを用いて表せ．
(2)定積分∫01f(x)dxをm,nを用いて表せ．
(3)a,b,cを実数として，関数g(x)=ax2+bx+cの0≦x≦1における最大値をM(a,b,c)とする．次の2条件(i),(ii)が成立するとき，M(a,b,c)の最小値をm,nを用いて表せ．
(i)g(0)=g(1)=0
\mon[\to・・・

　国立 金沢大学 2013年 第3問

a＞0とする．x≧0における関数f(x)=e^{\sqrt{ax}}と曲線C:y=f(x)について，次の問いに答えよ．
(1)C上の点P(1/a,f(1/a))における接線ℓの方程式を求めよ．また，Pを通りℓに直交する直線mの方程式を求めよ．
(2)定積分∫0^{1/a}f(x)dxをt=\sqrt{ax}とおくことにより求めよ．
(3)曲線C，直線y=1および直線mで囲まれた図形の面積S(a)を求めよ．また，a＞0におけるS(a)・・・

　国立 熊本大学 2013年 第3問

半径1，中心角θ(0＜θ＜π)の扇形に内接する円の半径をf(θ)とおく．以下の問いに答えよ．
(1)f(θ)を求めよ．
(2)0＜θ＜πの範囲でf(θ)は単調に増加し，f´(θ)は単調に減少することを示せ．
(3)定積分
∫_{π/3}^{π/2}f(θ)dθ
を求めよ．

　国立 熊本大学 2013年 第3問

半径1，中心角θ(0＜θ＜π)の扇形に内接する円の半径をf(θ)とおく．以下の問いに答えよ．
(1)f(θ)を求めよ．
(2)0＜θ＜πの範囲でf(θ)は単調に増加し，f´(θ)は単調に減少することを示せ．
(3)定積分
∫_{π/3}^{π/2}f(θ)dθ
を求めよ．

　国立 静岡大学 2013年 第4問

関数
c(x)=1/2(e^{2x}+e^{-2x}),s(x)=1/2(e^{2x}-e^{-2x}),t(x)=\frac{s(x)}{c(x)}
に対して，次の問いに答えよ．
(1){c(x)}2-{s(x)}2を計算せよ．
(2)導関数c´(x),s´(x),t´(x)を，それぞれc(x)またはs(x)を用いて表せ．
(3)t(log√2)とt(log√3)の値を求めよ．
(4)定積分∫_{log√2}^{log√3}t(x)dxと∫_{log√2}^{log√3}{t(x)}2dxを求め・・・

　国立 山梨大学 2013年 第4問

関数f(x)を次のとおりに定める．
f(x)={\begin{array}{ll}
e^{-\frac{1}{1-x2}}&(|x|＜1　のとき　)\
0&(|x|≧1　のとき　)
\end{array}.
(1)\lim_{x→1-0}f(x)，\lim_{x→-1+0}f(x)を求めよ．
(2)K=∫_{-1}1f(t)dt，F(x)=1/K∫_{-1}xf(t)dtとする．このとき，F(0)を求めよ．
(3)関数y=F(x)の増減を調べ，グラフの概形をかけ．
(4)関数y=F(x)-F(0)が奇・・・

　国立 茨城大学 2013年 第1問

以下の各問に答えよ．
(1)関数f(x)=loga(ax)を微分せよ．ただし，a＞0かつa≠1とする．
(2)関数g(x)=∫1^{x2+1}t2(t-1)5dtを微分せよ．
(3)定積分∫01\frac{1-x}{1+x}dxを求めよ．
(4)定積分∫1e\frac{log√x}{√x}dxを求めよ．ただし，対数は自然対数であり，eは自然対数の底である．