「空間」について

　国立 京都大学 2015年 第4問

xyz空間の中で，(0,0,1)を中心とする半径1の球面Sを考える．点Qが(0,0,2)以外のS上の点を動くとき，点Qと点P(1,0,2)の2点を通る直線ℓと平面z=0との交点をRとおく．Rの動く範囲を求め，図示せよ．

　国立 大阪大学 2015年 第4問

座標空間のx軸上に動点P，Qがある．P，Qは時刻0において，原点を出発する．Pはx軸の正の方向に，Qはx軸の負の方向に，ともに速さ1で動く．その後，ともに時刻1で停止する．点P，Qを中心とする半径1の球をそれぞれA,Bとし，空間でx≧-1の部分をCとする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)時刻t(0≦t≦1)における立体(A∪B)∩Cの体積V(t)を求めよ．
(2)V(t)の最大値を求めよ．

　国立 北海道大学 2015年 第3問

空間の3点O(0,0,0)，A(1,1,1)，B(-1,1,1)の定める平面をαとし，ベクトルOA=ベクトルa，ベクトルOB=ベクトルbとおく．α上の点Cがあり，そのx座標が正であるとする．ベクトルベクトルOCがベクトルaに垂直で，大きさが1であるとする．ベクトルOC=ベクトルcとおく．
(1)Cの座標を求めよ．
(2)ベクトルb=sベクトルa+tベクトルcをみたす実数s,tを求めよ．
(3)α上にない点P(x,y,z)からαに垂線を下ろ・・・

　国立 一橋大学 2015年 第4問

xyz空間において，原点を中心とするxy平面上の半径1の円周上を点Pが動き，点(0,0,√3)を中心とするxz平面上の半径1の円周上を点Qが動く．
(1)線分PQの長さの最小値と，そのときの点P，Qの座標を求めよ．
(2)線分PQの長さの最大値と，そのときの点P，Qの座標を求めよ．

　国立 熊本大学 2015年 第2問

p,q,rを実数とする．空間内の3点A(1,p,0)，B(q,1,1)，C(-1,-1,r)が一直線上にあるとき，以下の問いに答えよ．ただし，Oを原点とする．
(1)pは1でも-1でもないことを示せ．
(2)q,rをpを用いて表せ．
(3)p´,q´,r´を実数とし，空間内の3点をA´(1,p´,0)，B´(q´,1,1)，C´(-1,-1,r´)とする．ベクトル\overrightarrow{OA´}，\overrighta・・・

　国立 熊本大学 2015年 第2問

p,q,rを実数とする．空間内の3点A(1,p,0)，B(q,1,1)，C(-1,-1,r)が一直線上にあるとき，以下の問いに答えよ．ただし，Oを原点とする．
(1)pは1でも-1でもないことを示せ．
(2)q,rをpを用いて表せ．
(3)p´,q´,r´を実数とし，空間内の3点をA´(1,p´,0)，B´(q´,1,1)，C´(-1,-1,r´)とする．ベクトル\overrightarrow{OA´}，\overrighta・・・

　国立 東京海洋大学 2015年 第5問

aを実数とする．空間内の4点A(a,1,2)，B(2,-3,1)，C(1,-2,0)，D(1,-1,-1)に対し，線分ABの中点をP，線分ACの中点をQ，線分CDの中点をR，線分BDの中点をSとする．このとき次の問に答えよ．
(1)線分QRの長さをaを用いて表せ．
(2)cos∠PQRの値をaを用いて表せ．
(3)aが実数全体を動くとき，四角形PQRSの面積の最小値とそのときのaの値を求めよ．
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　国立 茨城大学 2015年 第3問

Oを原点とするxyz空間内の2点をA(3,-1,2)，B(0,5,8)とする．ベクトルAB=3ベクトルAPを満たす点Pを通り，直線ABに垂直な平面αを考える．このとき，以下の各問に答えよ．
(1)点Pの座標を求めよ．
(2)平面αがx軸，y軸，z軸と交わる点をそれぞれL，M，Nとするとき，四面体OLMNの体積を求めよ．

　国立 京都工芸繊維大学 2015年 第1問

xyz空間の3点O(0,0,0)，A(0,0,1)，B(2,4,-1)を考える．直線AB上の点C1，C2はそれぞれ次の条件を満たす．
直線AB上を点Cが動くとき，|ベクトルOC|はCがC1に一致するとき最小となる．
直線AB上を点Cが動くとき，\frac{|ベクトルAC|}{|ベクトルOC|}はCがC2に一致するとき最大となる．
このとき，次の問いに答えよ．
\begin{enumera・・・

　私立 立教大学 2015年 第1問

次の空欄[ア]～[コ]にあてはまる数または式を記入せよ．
(1)空間内の3点A，B，CをA(0,1,1)，B(1,0,1)，C(2,2,0)とする．実数p,qを用いて点HをベクトルAH=pベクトルAB+qベクトルACで定める．原点をO(0,0,0)として，ベクトルOHがベクトルABとベクトルACの両方に垂直であるとき，p=[ア]，q=[イ]である．
(2)不等式x+3＜5|x-1|を満たす実数xの範囲は，x＜[ウ]またはx＞\kakko{エ・・・