「立体」について

　国立 千葉大学 2012年 第11問

xy平面において，長さ1の線分ABを点Aが原点，点Bが点(1,0)に重なるように置く．点Aをy軸に沿って点(0,1)まで移動させ，線分ABの長さを1に保ったまま点Bをx軸に沿って原点まで移動させる．このとき線分ABが通る領域をDとする．0≦x≦1となる実数xに対して，点(x,y)が領域Dに含まれるようなyの最大値をf(x)とする．
(1)f(x)をxの式で表せ．
(2)領域Dをx軸を中心に回転させた立体の体積Vを求めよ．
\end{en・・・

　国立 九州工業大学 2012年 第4問

a,bを実数とし，関数f(x)，g(x)をf(x)=a(ex+e^{-x})，g(x)=4x+bとする．曲線C:y=f(x)の点(log3,f(log3))における接線が直線ℓ:y=g(x)と一致するとき，次に答えよ．ただし，対数は自然対数を表し，eは自然対数の底とする．また，log3＜1.1を用いてよい．
(1)a,bの値を求めよ．
(2)曲線Cと直線ℓおよび直線x=-log3で囲まれた図形の面積Sを求めよ．
(3)曲線Cと直線ℓおよび直線x=-log3で囲まれた図形をx軸のまわりに1回転してできる立体の体積Vを求めよ・・・

　国立 九州工業大学 2012年 第2問

Oを原点とする座標平面上に点A(0,1)があり，点Aからの距離が4である点P(x,y)がx＞0，y＞1をみたすように動く．直線APがx軸の正の向きとなす角をθ，点Pからx軸に垂線を下ろしたときの交点をQとする．以下の問いに答えよ．
(1)点Pの座標をθを用いて表せ．
(2)四角形OAPQの面積Sをθを用いて表せ．
(3)(2)で求めたSが最大となるときのsinθの値を求めよ．
(4)四角形OAPQをx軸のまわりに1回転させてできる立体の体積Vをθを用いて表せ．
(5)(4)で求めたVが・・・

　国立 香川大学 2012年 第3問

放物線C:y=x2-x+1について，次の問に答えよ．
(1)点(0,0)を通り，放物線Cに接する2つの直線の方程式を求めよ．
(2)放物線Cと，(1)で求めた2つの接線で囲まれる図形をDとするとき，Cと接線の概形をかき，Dを図示せよ．
(3)Dをx軸のまわりに1回転させてできる立体の体積Vを求めよ．

　国立 鹿児島大学 2012年 第4問

eを自然対数の底とし，logxを自然対数とする．次の各問いに答えよ．
(1)p,qをp＞0,q＞1を満たす定数とする．曲線y=plogxと直線x=qとx軸とで囲まれた部分の面積をp,qを使って表せ．
(2)2つの曲線y=logx,y=3logxと2つの直線x=e,x=e2で囲まれた部分をDとする．Dの面積を求めよ．
(3)(2)で与えられたDをx軸のまわりに回転させてできる立体の体積を求めよ．

　国立 お茶の水女子大学 2012年 第3問

次の問いに答えよ．
(1)x＞0で
f(x)+∫1x\frac{f(t)}{t}dt=3x2-2x
を満たす多項式f(x)を求めよ．
(2)x＞0で(1)で求めたf(x)とg(x)=1+3logxを考える．このとき関数f(x)とg(x)のグラフをかけ．
(3)連立不等式
{
\begin{array}{l}
x＞0\\
0≦y≦1\\
g(x)≦y≦f(x)
\end{array}
.
を満たす領域の面積を求めよ．
(4)(3)で求めた領域をx軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．

　国立 お茶の水女子大学 2012年 第1問

半径2の円板がx軸上を正の方向に滑らずに回転するとき，円板上の点Pの描く曲線Cを考える．円板の中心の最初の位置を(0,2)，点Pの最初の位置を(0,1)とする．
(1)円板がその中心のまわりに回転した角をθとするとき，Pの座標は
(2θ-sinθ,2-cosθ)
で与えられることを示せ．
(2)点P(2θ-sinθ,2-cosθ)(0＜θ＜2π)における曲線Cの法線とx軸との交点をQとする．線分PQの長さが最大となるような点Pを求めよ．ここで，Pにおいて接線に直交する直線・・・

　国立 宇都宮大学 2012年 第6問

関数y=e^{-x}のグラフをCとする．C上の点P(t,e^{-t})における接線とx軸との交点をQ(u,0)とする．C上の点(u,e^{-u})をRとするとき，次の問いに答えよ．
(1)uをtの式で表せ．
(2)線分PQ，線分QRとCで囲まれた部分を図形Aとする．図形Aをx軸のまわりに1回転してできる立体の体積Vをtの式で表せ．
(3)(1)のuをtの関数とみてu(t)と表す．数列{tn}をt1=0,t_{n+1}=u(tn)(n=1,2,・・・)と定義するとき，一般項tnを求めよ．
(4)(2)のVをtの関数とみてV(t)・・・

　国立 福井大学 2012年 第4問

曲線C:y=e^{-x}上の点A(a,e^{-a})における法線をℓとし，ℓに関して点(a,0)と対称な点をB，直線ABとy軸との交点をPとする．点Pのy座標をf(a)とおくとき，以下の問いに答えよ．
(1)f(a)をaを用いて表せ．
(2)aが実数全体を動くとき，f(a)の最大値とそのときのaの値を求めよ．
(3)aを(2)で求めた値とするとき，曲線C，y軸と線分APで囲まれた部分を，y軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ．

　国立 福井大学 2012年 第3問

tを0≦t≦√3をみたす実数とし，座標空間内に点P(t,0,\sqrt{3-t2})をとる．Pを通りyz平面に平行な平面をβとおく．3点D(0,1,0)，E(0,-1,0)，F(-√3,0,0)に対し，βと直線FDとの交点をQ，βと直線FEとの交点をRとする．△PQRの面積をS(t)とおくとき，以下の問いに答えよ．ただし，S(√3)=0とする．
(1)S(t)をtを用いて表せ．
(2)tが0≦t≦・・・