「立体」について

　国立 福井大学 2012年 第3問

曲線C:y=e^{-x}上の点A(a,e^{-a})におけるCの法線mと直線ℓ1:x=aに関して，以下の問いに答えよ．
(1)ℓ1とmのなす角をθとするとき，tanθをaを用いて表せ．ただし，0＜θ＜π/2とする．
(2)mに関してℓ1と対称な直線をℓ2とするとき，ℓ2の方程式をaを用いて表せ．
(3)ℓ2とy軸の交点をPとおく．aが実数全体を動くとき，Pのy座標の最大値とそのときのaの値を求めよ．
(4)aを(3)で求めた・・・

　私立 早稲田大学 2012年 第5問

xy平面上に2点A(-1,0)，B(1,0)をとる．π/4≦∠APB≦πをみたす平面上の点Pの全体と点A，Bからなる図形をFとする．つぎの問に答えよ．
(1)Fを図示せよ．
(2)Fをx軸のまわりに1回転して得られる立体の体積を求めよ．

　私立 東京慈恵会医科大学 2012年 第3問

nを3以上の整数とする．xyz空間の平面z=0上に，1辺の長さが4の正n角形Pがあり，Pの外接円の中心をGとおく．半径1の球Bの中心がPの辺に沿って1周するとき，Bが通過してできる立体をKnとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)Pの隣り合う2つの頂点P1，P2をとる．Gから辺P1P2に下ろした垂線とP1P2との交点をQとするとき，GQ＞1となることを示せ．
(2)次の各問に答えよ．
\mon[・・・

　私立 東京理科大学 2012年 第3問

k＞0として，座標平面上の曲線C:y=e^{kx}を考える．曲線C上の点Pを，PにおけるCの接線ℓ1が原点Oを通るようにとる．また，点Pを通リℓ1と直交する直線をℓ2とし，図のように，曲線C，直線ℓ2，x軸，y軸の4つで囲まれた図形をAとする．ただし，eは自然対数の底である．
（プレビューでは図は省略します）
(1)点Pの座標と，直線ℓ2とx軸との交点の座標を求めよ．
(2)図形Aをx軸のまわりに1回転してできる立体の体積Vを求めよ．
(3)・・・

　私立 慶應義塾大学 2012年 第2問

Oを原点とする座標空間において，4点
A1(1,1,1),B1(-1,-1,1),C1(1,-1,-1),D1(-1,1,-1)
を考えると，立体A1B1C1D1は正四面体である．このとき，以下の設問に答えよ．
(1)正四面体A1B1C1D1をxy平面に平行な平面z=-1+h(0≦h≦2)で切ったときに出来る図形の面積をS(h)とすると，
S(h)=-[34]h2+[35]h
と表され，S(h)はh=\ka・・・

　私立 慶應義塾大学 2012年 第4問

以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．
(1)0≦α＜β≦π/2かつR＞0とする．極座標(r,θ)に関する条件
0≦r≦R,α≦θ≦β
により定まる図形をx軸のまわりに回転させて得られる立体の体積をTとする．Tをα,β,Rを用いた式で表すと
T=[あ]
である．
(2)極方程式r=f(θ)(0≦θ≦α)で表される曲線Cと，θ=αで表され・・・

　私立 東京理科大学 2012年 第3問

aをa＞2であるような実数とする．座標平面上で，曲線y=1/xをC1とし，点(a,a)を中心とし点(1,1)を通る円をC2とする．曲線C1と円C2の点(1,1)以外の共有点のうち，x座標が1より小さいものをBとする．点Bから直線y=xに下ろした垂線と直線y=xの交点をHとする．
(1)円C2の方程式を求めよ．
(2)点Hの座標を求めよ．また，点Hと点(1,1)の距離を求めよ．
(3)tを正の実数とする．直線y=x上にあり点(1,1)から・・・

　公立 兵庫県立大学 2012年 第2問

kを正の定数とする．放物線y=kx2と直線y=1で囲まれた図形Dを考える．この図形Dをx軸のまわりに1回転した立体の体積をV1，y軸のまわりに1回転してできる立体の体積をV2とする．V1=V2となるようなkの値を定めよ．

　公立 岐阜薬科大学 2012年 第6問

円x2+(y-a)2=r2で囲まれた図形をx軸のまわりに1回転してできる立体の体積をV(a)とするとき，次の問いに答えよ．ただし，a,rは正の実数とする．
(1)a≧rのとき，V(a)を求めよ．
(2)0＜a＜rとする．
(i)0＜θ＜π/2のとき，sinθ＜θ＜tanθが成り立つ．このことを用いて，次の不等式が成り立つことを示せ．
\frac{(r+a)\sqrt{r2-a2}}{2}＜∫0^{\sqrt{r2-a2}}\sqrt{r2-x2}dx＜\frac{(r2+a2)\sqr・・・

　国立 埼玉大学 2011年 第1問

2つの放物線y=x2およびy2=8xを考える．次の問いに答えよ．
(1)2つの放物線の共有点を求めよ．
(2)2つの放物線によって囲まれた部分をSとする．Sの面積を求めよ．
(3)Sをx軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ．