「立体」について

　国立 名古屋大学 2011年 第1問

-1/4＜s＜1/3とする．xyz空間内の平面z=0の上に長方形
Rs={f(x,y,0)\;|\;1≦x≦2+4s,1≦y≦2-3s}
がある．長方形Rsをx軸のまわりに1回転してできる立体をKsとする．
(1)立体Ksの体積V(s)が最大となるときのsの値，およびそのときのV(s)の値を求めよ．
(2)sを(1)で求めた値とする．このときの立体Ksをy軸のまわりに1回転してできる立体Lの体積を求めよ．

　国立 大阪大学 2011年 第2問

実数θが動くとき，xy平面上の動点P(0,sinθ)およびQ(8cosθ,0)を考える．θが0≦θ≦π/2の範囲を動くとき，平面内で線分PQが通過する部分をDとする．Dをx軸のまわりに1回転してできる立体の体積Vを求めよ．

　国立 横浜国立大学 2011年 第4問

xy平面上の2曲線C1:y=\frac{logx}{x}とC2:y=ax2は点Pを共有し，Pにおいて共通の接線をもっている．ただし，aは定数とする．次の問いに答えよ．
(1)関数y=\frac{logx}{x}の増減，凹凸，変曲点を調べ，C1の概形を描け．ただし，\lim_{x→∞}\frac{logx}{x}=0は証明なしに用いてよい．
(2)Pの座標およびaの値を求めよ．
(3)不定積分∫(\frac{logx}{x})2dxを求めよ．
(4)C1,C2およ・・・

　国立 筑波大学 2011年 第3問

aを0＜α＜π/2を満たす定数とする．円C:x2+(y+sinα)2=1および，その中心を通る直線ℓ:y=(tanα)x-sinαを考える．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)直線ℓと円Cの2つの交点の座標をαを用いて表せ．
(2)等式
2∫_{cosα}1\sqrt{1-x2}dx+∫_{-cosα}^{cosα}\sqrt{1-x2}dx=π/2
が成り立つことを示せ．
(3)連立方程式
{
\begin{array}{l}
y≦(tanα)・・・

　国立 信州大学 2011年 第5問

次の問いに答えよ．
(1)次の不定積分を求めよ．
∫log(1+√x)dx
(2)点(1,1)を中心とする半径1の円と，x軸およびy軸で囲まれた図形を，x軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めよ．ただし，回転させる図形は円の中心を含まないものとする．

　国立 岩手大学 2011年 第6問

x＞0で定義された関数f(x)=\frac{(logx)2}{√x}について，次の問いに答えよ．
(1)y=f(x)の増減を調べ，極値を求めよ．
(2)曲線y=f(x)と2直線x=e，x=e2およびx軸で囲まれた図形をx軸のまわりに1回転して得られる立体の体積を求めよ．

　国立 島根大学 2011年 第3問

次の問いに答えよ．
(1)関数y=|x|sinxのx=0における微分可能性を調べよ．
(2)不定積分∫xsin2xdxを求めよ．
(3)-π/2≦x≦π/2の範囲で，曲線C:y=|x|sinxを考える．Cと直線y=xで囲まれる図形をx軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．

　国立 島根大学 2011年 第3問

次の問いに答えよ．
(1)関数y=|x|sinxのx=0における微分可能性を調べよ．
(2)不定積分∫xsin2xdxを求めよ．
(3)-π/2≦x≦π/2の範囲で，曲線C:y=|x|sinxを考える．Cと直線y=xで囲まれる図形をx軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．

　国立 香川大学 2011年 第4問

a＞1のとき，連立不等式
\sqrt{a2-x2}≦y≦a2-x2,x≧0,y≧0
で表せる領域をD1，連立不等式
a2-x2≦y≦\sqrt{a2-x2},x≧0,y≧0
で表せる領域をD2とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)x≧0,y≧0における，曲線y=\sqrt{a2-x2}と曲線y=a2-x2の交点をすべて求めよ．
(2)x≧0,y≧0において，2つの曲線y=\sqrt{a2-x2},y=a2-x2のグラフの概形をかき，D1,D2を図示せよ．
(3)D1,\・・・

　国立 香川大学 2011年 第5問

a＞1のとき，連立不等式
\sqrt{a2-x2}≦y≦a2-x2,x≧0,y≧0
で表せる領域をD1，連立不等式
a2-x2≦y≦\sqrt{a2-x2},x≧0,y≧0
で表せる領域をD2とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)x≧0,y≧0における，曲線y=\sqrt{a2-x2}と曲線y=a2-x2の交点をすべて求めよ．
(2)x≧0,y≧0において，2つの曲線y=\sqrt{a2-x2},y=a2-x2のグラフの概形をかき，D1,D2を図示せよ．
(3)D1,\・・・