「立体」について

　国立 鳥取大学 2011年 第3問

曲線C:y=logx(x＞0)について，次の問いに答えよ．ただし，logxはxの自然対数である．
(1)不定積分∫logxdxを求めよ．
(2)原点から曲線Cに引いた接線ℓの方程式および接点の座標を求めよ．
(3)曲線Cと(2)で求めた接線ℓおよびx軸とで囲まれた部分の面積を求めよ．
(4)曲線Cと(2)で求めた接線ℓおよびx軸とで囲まれた部分をx軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めよ．

　国立 鳥取大学 2011年 第3問

曲線C:y=logx(x＞0)について，次の問いに答えよ．ただし，logxはxの自然対数である．
(1)不定積分∫logxdxを求めよ．
(2)原点から曲線Cに引いた接線ℓの方程式および接点の座標を求めよ．
(3)曲線Cと(2)で求めた接線ℓおよびx軸とで囲まれた部分の面積を求めよ．
(4)曲線Cと(2)で求めた接線ℓおよびx軸とで囲まれた部分をx軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めよ．

　国立 愛知教育大学 2011年 第5問

座標空間内で点Q(a,b,c)を中心とする半径rの球をBとし，Bは各座標平面と交わる位置にあるとする．Bがxy平面によって切り取られる立体のうち，Qを含む方をB1，切断面をD1とする．またBがxz平面によって切り取られる図形のうち，Qを含む方をB2，切断面をD2とする．D1の面積が8π，D2の面積が12π，D1とD2が交わってできる線分の長さが4のとき，以下の問いに答えよ．
(1)D1,D2のそれぞれの中心と半径をa,b,c,rを用いて表せ．
(2)b,c,rの値を求めよ．・・・

　国立 群馬大学 2011年 第1問

関数f(x)=3sinx-sin3x(0≦x≦π)について，次の問いに答えよ．
(1)f(x)のグラフは直線x=π/2に関して対称になることを示せ．
(2)0＜x＜πのとき，f(x)の極値を求めよ．
(3)曲線y=f(x)(0≦x≦π)とx軸で囲まれた部分を，x軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ．

　国立 奈良教育大学 2011年 第4問

eを自然対数の底とする．関数f(x)をf(x)=log(e-x)(x＜e)とする．このとき，以下の設問に答えよ．
(1)曲線y=f(x)とx軸との交点を求めよ．
(2)曲線y=f(x)とy軸との交点をPとする．点Pにおける曲線y=f(x)の接線をℓとする．直線ℓの方程式を求めよ．
(3)曲線y=f(x)と直線ℓのグラフを描け．
(4)曲線y=f(x)と直線ℓおよびx軸によって囲まれた図形をy軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ．

　国立 京都工芸繊維大学 2011年 第3問

次の問いに答えよ．
(1)不定積分∫\frac{1}{x2}logxdxおよび∫\frac{1}{x2}(logx)2dxを求めよ．
(2)実数aに対して，曲線y=1/x(a+logx)(1≦x≦e)とx軸および2直線x=1,x=eで囲まれた部分を，x軸のまわりに1回転させてできる立体の体積をVとする．Vをaを用いて表せ．また，aが実数全体を動くとき，Vを最小とするaの値を求めよ．

　国立 熊本大学 2011年 第4問

xyz空間内の3点P(0,0,1)，Q(0,0,-1)，R(t,t2-t+1,0)を考える．tが0≦t≦2の範囲を動くとき，三角形PQRが通過してできる立体をKとする．以下の問いに答えよ．
(1)Kをxy平面で切ったときの断面積を求めよ．
(2)Kの体積を求めよ．

　私立 早稲田大学 2011年 第4問

a＞0とし，x-y平面上に3点O(0,0)，A(a,0)，P(x,y)をとる．lを与えられた正定数として，Pが
2　PO　2+　PA　2=3l2\dotnum{*}
をみたすとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)\maru{*}をみたすPの集合が空集合とならないためのaの条件を求め，そのときのP(x,y)の軌跡を表す方程式を求めよ．
(2)3点O,A,Pが一直線上にないようなPが存在するとき，OAを軸として，△POAを回転して立体をつくる．この立体の体積が最大になるときのPのx座標と最大の体積Vを，・・・

　私立 上智大学 2011年 第3問

xyz空間内の正四面体ABCDを考える．頂点A，B，C，Dはすべて原点Oを中心とする半径1の球面S上にある．Aの座標は(0,0,1)であり，Bのx座標は正，y座標は0である．また，Cのy座標はDのy座標より大きい．
(1)B，C，Dのz座標は\frac{[ニ]}{[ヌ]}である．
(2)Cのx座標は\frac{[ネ]}{[ノ]}\sqrt{[ハ]}・・・

　私立 龍谷大学 2011年 第4問

-π≦x≦πの範囲で関数
f(x)=cosx+√3sinx-1
を考える．
(1)f(x)=0を満たすxを求めなさい．
(2)y=f(x)のグラフとx軸とで囲まれた図形をx軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めなさい．