「立体」について

　私立 久留米大学 2011年 第4問

整数kに対して，曲線y=4e^{-x}とx軸，および直線x=kとx=k+1とで囲まれた図形の面積をSkとする．同じく，この図形をx軸のまわりに回転してできる立体の体積をVkとする．このとき，Sk=[7]，Vk=[8]であり，無限級数Σ_{n=1}^∞Snは[9]に，Σ_{n=1}^∞Vnは[10]に収束する．

　私立 福岡大学 2011年 第3問

f(x)=x+√2sinx(0≦x≦2π)とし，曲線y=f(x)をCとするとき，次の問いに答えよ．
(1)関数f(x)の極値を求めよ．
(2)曲線Cとx軸および直線x=2πで囲まれた図形をx軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ．

　私立 津田塾大学 2011年 第3問

次の問に答えよ．
(1)不定積分∫{(logx)}2dxを求めよ．
(2)関数y=logxのグラフをCとする．Cに接し，かつ原点を通る直線ℓの式を求めよ．
(3)Cとℓとx軸とで囲まれた図形をx軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．

　私立 早稲田大学 2011年 第7問

a＞0，b≧0のとき，曲線y=-acosπx+a+b(0≦x≦1)をx軸のまわりに1回転してできる立体の体積をVとすると，
V=π/2([ノ]a2+[ハ]ab+[ヒ]b2)
となる．また，ある定数cに対し2a+b=cが成り立つとすると，a=\frac{c}{[フ]}のとき，Vは最小値\frac{[ヘ]}{8}πc2をとる．

　公立 大阪府立大学 2011年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)不定積分
I1=∫logxdx,I2=∫(logx)2dx
をそれぞれ求めよ．ただし，積分定数は省略してよい．
(2)2曲線y=log(x+1),y=log2xとx軸とで囲まれた図形をx軸のまわりに1回転してできる立体の体積Vを求めよ．

　公立 名古屋市立大学 2011年 第4問

xy平面上において，媒介変数t(0≦t≦2π)によってx=2(1+cost)cost,y=2(1+cost)sintと表される下図の曲線について次の問いに答えよ．
（プレビューでは図は省略します）
(1)xの最大値，最小値を求めよ．
(2)dx/dtを求めよ．
(3)この曲線で囲まれる図形をx軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ．

　公立 和歌山県立医科大学 2011年 第4問

次の問いに答えよ．
(1)関数y=\frac{sin2x}{x}の導関数を求めよ．
(2)n=1,2,3に対して，an=∫_{nπ}^{(n+1)π}\frac{|sinx|}{x}dxとおく．連立不等式
π/2≦x≦2π,0≦y≦|\frac{sinx|{x}}
によって表される領域の部分をx軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を，a1，a2，a3を用いて表せ．

　国立 東京大学 2010年 第1問

3辺の長さがaとbとcの直方体を，長さがbの1辺を回転軸として90°回転させるとき，直方体が通過する点全体がつくる立体をVとする．
(1)Vの体積をa,b,cを用いて表せ．
(2)a+b+c=1のとき，Vの体積のとりうる値の範囲を求めよ．

　国立 弘前大学 2010年 第2問

a＞1を定数とする．3つの放物線y=x2,y=1/2x2,y=ax2のx≧0の部分をそれぞれ，C,C1,C2とする．C上の点Pからx軸に下ろした垂線と2曲線C,C1で囲まれた領域をD1とする．Pからy軸に下ろした垂線と2曲線C,C2で囲まれた領域をD2とする．
(1)領域D1,D2の面積をそれぞれS1,S2とする．点Pのとり方によらず常にS1=S2となるようなaの値を求めよ．
(2)領域D1,D2をy軸のまわりに1回転してできる立体の体積をそれぞれV1,V2とする・・・

　国立 大阪大学 2010年 第4問

半径3の球T1と半径1の球T2が，内接した状態で空間に固定されている．半径1の球Sが次の条件(A)，(B)を同時に満たしながら動く．
\begin{eqnarray}
　(A)　S　は　T1　の内部にあるか　T1　に内接している．　\nonumber\\
　(B)　S　は　T2　の外部にあるか　T2　に外接している．　\nonumber
\end{eqnarray}
Sの中心が存在しうる範囲をDとするとき，立体Dの体積を求めよ．