「立体」について

　国立 岐阜大学 2010年 第3問

空間内の四面体OABCについて，ベクトルOA=ベクトルa,ベクトルOB=ベクトルb,ベクトルOC=ベクトルcとおく．辺OA上の点Dは　OD　:　DA　=1:2を満たし，辺OB上の点Eは　OE　:　EB　=1:1を満たし，辺BC上の点Fは　BF　:　FC　=2:1を満たすとする．3点D，E，Fを通る平面をαとする．以下の問に答えよ．
(1)αと辺ACが交わる点をGとする．ベクトルa,ベクトルb,ベクトルcを用いてベクトルOGを表せ．
(2)αと直線OCが交わる点をHとする．　OC　:　CH　を求めよ・・・

　国立 長崎大学 2010年 第4問

aをa＞1を満たす定数とする．原点Oと点P(1,0)を線分で結び，点Pと点Q(a,loga)を曲線y=logxで結ぶ．このようにして得られる曲線OPQを，y軸の周りに1回転させてできる立体の容器を考える．ただし，OPを含む部分を底面として，水平に置くものとする．次の問いに答えよ．
(1)この容器の容積Vをaを用いて表せ．
(2)mを正の定数とする．この容器に，単位時間あたりmの水を一定の割合で注ぎ入れる．ただし，最初は水が全く入っていない状態とする．注ぎ始めてから時間t(0＜t＜・・・

　国立 鳥取大学 2010年 第2問

xy平面における原点Oと点A(3,2)に対して，次の問いに答えよ．
(1)傾きが4/3で，点Aを通る直線ℓの方程式を求めよ．
(2)(1)で求めた直線ℓの点Aにおける法線をmとする．直線mの方程式を求めよ．
(3)(1)で求めた直線ℓとx軸との交点をB，(2)で求めた直線mとy軸との交点をCとする．図形OBACをy軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ．

　国立 長崎大学 2010年 第6問

xyz空間において，底面の半径が2，高さが4である直円柱
{
\begin{array}{l}
x2+y2≦4\\
0≦z≦4
\end{array}
.
を考える．この円柱内で，さらに
{
\begin{array}{l}
z≦(x-2)2\\
z≦y2
\end{array}
.
を満たす点(x,y,z)からなる立体をVとする．次の問いに答えよ．
(1)立体Vを平面x=t(-2≦t≦2)で切った切り口の面積をA(t)とする．A(t)をtを用いて表せ．
(2)立体Vの体積を求めよ．

　国立 東京学芸大学 2010年 第3問

図のような1辺の長さaの立方体ABCD-EFGHがある．線分AF，BG，CH，DE上にそれぞれ動点P，Q，R，Sがあり，頂点A，B，C，Dを同時に出発して同じ速さで頂点F，G，H，Eまで動く．このとき，四角形PQRSが通過してできる立体の体積を求めよ．
（プレビューでは図は省略します）

　国立 群馬大学 2010年 第5問

座標平面における4分の1円：x2+y2≦1(x≧0,y≧0)を，原点を通りx軸の正の向きとθの角をなす直線のまわりに1回転させてできる立体の体積をV(θ)とおく．
(1)V(0),V(π/4)の値を求めよ．
(2)0≦θ≦π/4のときV(θ)を求めよ．
(3)θが0≦θ≦π/2の範囲を動くとき，V(θ)が最小となるθを求めよ．

　国立 群馬大学 2010年 第5問

座標平面における4分の1円：x2+y2≦1(x≧0,y≧0)を，原点を通りx軸の正の向きとθの角をなす直線のまわりに1回転させてできる立体の体積をV(θ)とおく．
(1)V(0),V(π/4)の値を求めよ．
(2)0≦θ≦π/4のときV(θ)を求めよ．
(3)θが0≦θ≦π/2の範囲を動くとき，V(θ)が最小となるθを求めよ．

　国立 群馬大学 2010年 第5問

座標平面における4分の1円：x2+y2≦1(x≧0,y≧0)を，原点を通りx軸の正の向きとθの角をなす直線のまわりに1回転させてできる立体の体積をV(θ)とおく．
(1)V(0),V(π/4)の値を求めよ．
(2)0≦θ≦π/4のときV(θ)を求めよ．
(3)θが0≦θ≦π/2の範囲を動くとき，V(θ)が最小となるθを求めよ．

　国立 宇都宮大学 2010年 第6問

座標平面上に，点(0,1)を中心とする半径1の円と点P(0,h)(0＜h＜2)がある．点Pを通る直線y=hと円との交点で第1象限にあるものをQとする．曲線C:y=αx2は点Qを通るとし，y軸と曲線Cおよび線分PQで囲まれた部分を図形Aとする．次の問いに答えよ．
(1)αをhを用いて表せ．
(2)図形Aの面積Sをhの式で表し，Sの最大値を求めよ．
(3)図形Aをy軸の周りに1回転してできる立体の体積Vをhの式で表し，Vの最大・・・

　国立 九州工業大学 2010年 第2問

実数θ(0＜θ＜π/2)に対して行列Aを
A=(\begin{array}{rr}
cos2θ&sin2θ\
-sin2θ&cos2θ
\end{array})
とする．また，実数k(k＞0)に対して，x,yは
(\begin{array}{c}
x\
y
\end{array})=A(\begin{array}{c}
x\
y
\end{array})+(\begin{array}{c}
0\
k
\end{array})
を満たす．そして，x,y,kを用いて座標平面上の2点P(x,y)，Q(0,k)・・・