「立体」について

　国立 宮城教育大学 2010年 第5問

関数f(x)=∫_αx(t-α)cos(x-t)dtを考える．ただし，αは定数とする．次の問いに答えよ．
(1)xを定数とみて，u=x-tとおく．置換積分法を用いて，
∫_αx(t-α)cos(x-t)dt=∫0^{x-α}(x-α-u)cosudu
となることを示せ．
(2)導関数f´(x)を求めよ．
(3)関数f(x)を求めよ．
(4)曲線y=f(x)(α≦x≦α+2π)とx軸で囲まれた部分を，x軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ．
\end{・・・

　私立 早稲田大学 2010年 第4問

xyz空間において，2点P(1,0,1)，Q(-1,1,0)を考える．線分PQをx軸の周りに1回転して得られる曲面をSとする．以下の問に答えよ．
(1)曲面Sと，2つの平面x=1およびx=-1で囲まれる立体の体積を求めよ．
(2)(1)の立体の平面y=0による切り口を，平面y=0上において図示せよ．
(3)定積分∫01\sqrt{t2+1}dtの値をt=\frac{es-e^{-s}}{2}と置換することによって求めよ．
これを用いて，(2)の切り口の面積を求めよ．

　私立 北海学園大学 2010年 第4問

曲線C:y=e^{ax}(a≠0)について次の問いに答えよ．ただし，eは自然対数の底とする．
(1)C上の点(t,e^{at})における接線の方程式を求めよ．さらに，この接線が原点Oを通るとき，この接線をℓと表す．接線ℓの方程式を求めよ．
(2)接線ℓ，曲線Cおよびy軸で囲まれた図形Dの面積が1となるようなaの値を求めよ．
(3)図形Dをx軸のまわりに回転してできる立体の体積がπとなるようなaの値を求めよ．

　私立 北海学園大学 2010年 第3問

曲線C:y=e^{ax}(a≠0)について次の問いに答えよ．ただし，eは自然対数の底とする．
(1)C上の点(t,e^{at})における接線の方程式を求めよ．さらに，この接線が原点Oを通るとき，この接線をℓと表す．接線ℓの方程式を求めよ．
(2)接線ℓ，曲線Cおよびy軸で囲まれた図形Dの面積が1となるようなaの値を求めよ．
(3)図形Dをx軸のまわりに回転してできる立体の体積がπとなるようなaの値を求めよ．

　私立 日本女子大学 2010年 第3問

aを正の実数とする．曲線C:y=\frac{1}{√x}上の点(a2,1/a)における接線をℓとする．ℓとx軸の交点のx座標をbとする．
(1)bをaの式で表せ．
(2)曲線Cと接線ℓおよび直線x=bで囲まれた図形を，x軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ．

　私立 津田塾大学 2010年 第4問

x≧0の範囲で関数y=√xe^{-x}のグラフをCとする．
(1)Cの概形を描け．ただし\lim_{x→∞}√xe^{-x}=0は証明せずに使ってよい．
(2)M＞0とする．曲線Cとx軸で囲まれた図形をx軸のまわりに1回転してできる立体のうち，x≦Mの部分の体積V(M)を求めよ．
(3)極限値\lim_{M→∞}V(M)を求めよ．

　公立 首都大学東京 2010年 第2問

以下の問いに答えなさい．
(1)sを0≦s≦√2を満たす実数とする．直線y=xと直線y=-x+√2sの交点をPとする．直線y=-x+√2sと曲線y=-x2+2xの交点でx座標が1以下である点をQとし，Qのx座標をtとする．このとき，点Pと点Qの距離およびsを，tを用いて表しなさい．
(2)直線y=xと曲線y=-x2+2xで囲まれた図形を直線y=xのまわりに回転させてできる立体の体積を求めなさい．

　公立 名古屋市立大学 2010年 第2問

xy平面上に，原点Oを中心とする半径1の円Cがあり，点Pは円Cの周上を動く．また点Pを中心とする半径rの円Dの周上には点Qがある．いま，点Pが点(1,0)から円C上を反時計回りに動き，同時に点Qは点(1+r,0)から円D上を時計回りに動く．ただし，点Pは円C上で，点Qは円D上でともに等速円運動を行い，点Pが円Cを一周したとき点Qも円Dを一周する．次の問いに答えよ．
(1)点Pが円Cを一周したとき，点Qの軌跡はどのような図形になるか，図示せよ．
(2)(1)の図形をy軸のまわりに回転させた時にで・・・

　公立 熊本県立大学 2010年 第3問

0≦r≦lのとき，円(x-m)2+(y-l)2=r2によって囲まれる部分をx軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めなさい．

　公立 熊本県立大学 2010年 第3問

0≦r≦lのとき，円(x-m)2+(y-l)2=r2によって囲まれる部分をx軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めなさい．