「立体」について

　国立 滋賀医科大学 2015年 第1問

aを定数とする．x＞0における関数
f(x)=logx+ax2-3x
について，曲線y=f(x)はx=\frac{1}{√2}で変曲点をもつとする．
(1)aを求めよ．
(2)kを定数とするとき，方程式f(x)=kの異なる実数解の個数を求めよ．
(3)曲線y=f(x)とx軸，および2直線x=1，x=2で囲まれた部分を，x軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ．

　国立 茨城大学 2015年 第4問

xy平面において，関数y=\frac{1}{√x}が表す曲線をCとし，C上の点P(t,\frac{1}{√t})を考える．ただし，t＞0とする．点Pにおける曲線Cの接線がx軸と交わる点をQとする．このとき，以下の各問に答えよ．
(1)点Qの座標を求めよ．
(2)曲線C，x軸，直線x=t，および点Qを通りx軸に垂直な直線で囲まれた部分を，x軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ．
(3)線分PQの長さをL(t)・・・

　私立 立教大学 2015年 第4問

kを実数とする．曲線C:y=(x2-1)2と直線ℓ:y=kについて，次の問いに答えよ．
(1)曲線Cと直線ℓの共有点が異なる4点となるようなkの値の範囲を求めよ．
(2)kが(1)で求めた範囲にあるとき，曲線Cと直線ℓの共有点のx座標を小さい順にx1，x2，x3，x4とする．x1，x2，x3，x4をそれぞれkを用いて表せ．
(3)kが(1)で求めた範囲にあるとき，曲線Cと直線ℓで囲まれた部分をy軸のまわりに1回転してできる立体の体積Vをkを用いて表せ．
(4)(3)で・・・

　私立 慶應義塾大学 2015年 第1問

a＞0とし，関数f(x)を
f(x)=-acosx+1/2a2cos2x\qquad(-π＜x＜π)
と定める．
(1)f(x)の最小値は，a≦[ア]のとき[イ]であり，a≧[ア]のとき[ウ]である．ただし，[ア]には数，[イ]と[ウ]にはaの多項式を記入すること．
(2)曲線y=f(x)がx軸と接するのはa=[エ]のときである．
(3)a=[エ]とする．曲線y=f(x)とx軸で囲まれた部分の面積は[オ]であり，その部分をx軸の周りに1回転させ・・・

　私立 早稲田大学 2015年 第5問

a＞0とする．xy平面上に点A(-√2a,0)，B(√2a,0)を固定する．動点P(x,y)は条件AP+BP=4aをみたすものとする．次の問に答えよ．
(1)点Pの軌跡として得られる曲線の方程式を求めよ．ただし，答のみでよい．
(2)(1)の曲線の-√2a≦x≦√2aの部分と，直線x=-√2a，直線x=√2aで囲まれる図形をx軸のまわりに1回転してできる立体を考える．この立体の体積Vを求めよ．
(3)(2)の立体の表面積Sを求めよ．ここ・・・

　私立 早稲田大学 2015年 第4問

放物線y=-x2+2x+2とx軸によって囲まれた部分をDとする．
(1)Dをx軸のまわりに1回転させてできる立体の体積は\frac{[ス]\sqrt{[セ]}}{[ソ]}πである．
(2)Dをy軸のまわりに1回転させてできる立体の体積は\frac{[タ]+[チ]\sqrt{[ツ]}}{[テ]}πである．

　私立 龍谷大学 2015年 第3問

円x2+(y-1)2=1とその内部をx軸のまわりに1回転してできる立体を考える．
(1)tを-1≦t≦1を満たす定数とする．この立体をx軸に垂直で(t,0)を通る平面で切った断面の面積をtで表しなさい．
(2)この立体の体積を求めなさい．

　公立 首都大学東京 2015年 第1問

以下の問いに答えなさい．
(1)次の不定積分を求めなさい．
∫e^{-2x}cos2xdx
(2)nを正の整数とする．曲線
y=e^{-x}sinx((n-1)π≦x≦nπ)
とx軸で囲まれる部分をx軸の周りに1回転させてできる立体の体積Vnを求めなさい．
(3)(2)で求めたVnに対して，Σ_{n=1}^∞V_{2n-1}=V1+V3+V5+・・・を求めなさい．

　公立 奈良県立医科大学 2015年 第15問

0≦x≦2/3πの範囲で，曲線y=cosxと曲線y=cos2xとで囲まれた図形をx軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ．

　国立 横浜国立大学 2014年 第5問

xy平面上に曲線C:y=x2がある．C上の2点P，QがPQ=2をみたしながら動くとき，PQの中点の軌跡をDとする．次の問いに答えよ．
(1)Dの方程式を求めよ．
(2)C，D，y軸および直線x=1/2で囲まれた部分をx軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ．