「立体」について

　国立 名古屋大学 2014年 第1問

空間内にある半径1の球（内部を含む）をBとする．直線ℓとBが交わっており，その交わりは長さ√3の線分である．
(1)Bの中心とℓとの距離を求めよ．
(2)ℓのまわりにBを1回転してできる立体の体積を求めよ．

　国立 熊本大学 2014年 第4問

aをa＞2である実数とする．xy平面上の曲線C:y=\frac{1}{sinxcosx}(0＜x＜π/2)と直線y=aの交点のx座標をα,β(α＜β)とする．以下の問いに答えよ．
(1)tanαおよびtanβをaを用いて表せ．
(2)Cとx軸，および2直線x=α，x=βで囲まれた領域をSとする．Sの面積をaを用いて表せ．
(3)Sをx軸の周りに回転して得られる立体の体積Vをaを用いて表せ．

　国立 熊本大学 2014年 第4問

aを正の実数とする．xy平面上の曲線C:y=e^{ax}の接線で，原点を通るものをℓとし，Cとℓおよびy軸で囲まれた領域をSとする．以下の問いに答えよ．
(1)Sをx軸の周りに回転して得られる立体の体積V1を求めよ．
(2)Sをy軸の周りに回転して得られる立体の体積V2を求めよ．
(3)V1=V2となるときのaの値を求めよ．

　国立 岩手大学 2014年 第6問

関数f(x)=\frac{logx}{√x}(x＞0)について，次の問いに答えよ．ただし，logxはxの自然対数，eは自然対数の底とする．
(1)極限\lim_{x→+0}f(x)を求めよ．
(2)y=f(x)の極値を求めよ．
(3)曲線y=|f(x)|とx軸および2直線x=1/e，x=eで囲まれた図形をx軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ．

　国立 佐賀大学 2014年 第1問

aをπ/2＜a＜πを満たす定数とする．2つの曲線
y=sinx(π/4≦x≦a),y=cosx(π/4≦x≦π/2)
と2つの直線x=a，y=0で囲まれる図形をDとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)Dの面積Sを求めよ．
(2)Dをx軸の周りに1回転してできる立体の体積Vを求めよ．

　国立 鹿児島大学 2014年 第4問

次の各問いに答えよ．
(1)θを媒介変数として，
{\begin{array}{l}
x=θ-sinθ\
y=1-cosθ
\end{array}.
で表される曲線のθ=π/2に対応する点における接線の方程式を求めよ．
(2)2つの曲線y=e^{-x}+1，y=3(e^{-x}-1)の交点の座標を求めよ．ただし，eは自然対数の底とする．
(3)(2)の2曲線とy軸で囲まれた図形をDとする．Dの面積を求めよ．
(4)(3)で与えられたDをx軸のまわりに1回転させてできる立体の体積・・・

　国立 弘前大学 2014年 第1問

次の連立不等式の表す領域をDとする．
{\begin{array}{l}
x2+y2≦3\
x2+y2+6y≧3
\end{array}.
このとき，次の問いに答えよ．
(1)領域Dを座標平面上に図示せよ．
(2)領域Dをx軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ．

　国立 三重大学 2014年 第4問

関数f(x)=sin(3/2x)+3/4xとg(x)=3/4xについて，以下の問いに答えよ．ただし，0≦x≦πとする．
(1)f(x)の増減，凹凸を調べ，極値を求めよ．また，y=f(x)のグラフをかけ．
(2)y=f(x)とy=g(x)のグラフの共有点を求めよ．
(3)y=f(x)とy=g(x)のグラフで囲まれた図形を，x軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ．

　国立 三重大学 2014年 第4問

関数f(x)=sin(3/2x)+3/4xとg(x)=3/4xについて，以下の問いに答えよ．ただし，0≦x≦2πとする．
(1)y=f(x)とy=g(x)のグラフの共有点を求めよ．
(2)y=f(x)とy=g(x)のグラフで囲まれた図形を，x軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ．

　国立 富山大学 2014年 第2問

次の問いに答えよ．
(1)0≦x≦πの範囲で方程式cos2x-cosx=0の解を求めよ．
(2)0≦x≦πの範囲で2つの曲線y=cos2xとy=cosxで囲まれた図形の面積Sを求めよ．
(3)(2)の図形をx軸の周りに1回転させてできる立体の体積Vを求めよ．