「立体」について

　国立 九州工業大学 2014年 第4問

関数f(x)=-tanx(0≦x≦π/4)，g(x)=sin2x(0≦x≦π/4)について，次に答えよ．
(1)不定積分∫tanxdx，∫tan2xdxを求めよ．
(2)b＞0とする．曲線y=g(x)および3直線y=-b，x=0，x=π/4で囲まれた部分を直線y=-bのまわりに1回転してできる立体の体積V1をbを用いて表せ．
(3)0≦x\leq・・・

　国立 山形大学 2014年 第2問

xy平面上の曲線C:y=√xがある．曲線C上の点P(t,√t)(t＞0)における接線をℓとする．さらに，直線ℓとx軸の交点をQとする．次の問いに答えよ．
(1)接線ℓの方程式を求めよ．
(2)点Qの座標をtを用いて表せ．
(3)点Pからx軸に下ろした垂線をPRとするとき，△PQRをx軸のまわりに1回転してできる立体の体積をtを用いて表せ．
(4)曲線C，直線ℓおよびx軸で囲まれた図形を，x軸のまわりに1回転してでき・・・

　国立 山形大学 2014年 第2問

以下の問いに答えよ．
(1)連立不等式x2+y2≦25,y≧4を満たす領域をy軸の周りに一回転させてできる立体の体積を求めよ．
(2)連立不等式x2+y2\leq25,x≧4,y≧0を満たす領域をy軸の周りに一回転させてできる立体の体積を求めよ．
(3)連立不等式x2+y2≦25,0≦x≦4,0≦y≦4を満たす領域の面積を求めよ．ただし，sinθ0=3/5を満たす角θ0(0＜θ0＜π/2)を使用・・・

　国立 群馬大学 2014年 第4問

曲線y=logx上の点P(1,0)における接線とy軸の交点をQとする．Qを通りx軸に平行な直線と曲線y=logxの交点をRとする．ここで，対数は自然対数である．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)点Rの座標を求めよ．
(2)線分PRと曲線y=logxで囲まれた図形をx軸の周りに1回転してできる立体の体積Vを求めよ．

　国立 群馬大学 2014年 第3問

曲線y=logx上の点P(1,0)における接線とy軸の交点をQとする．Qを通りx軸に平行な直線と曲線y=logxの交点をRとする．ここで，対数は自然対数である．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)点Rの座標を求めよ．
(2)線分PRと曲線y=logxで囲まれた図形をx軸の周りに1回転してできる立体の体積Vを求めよ．

　国立 群馬大学 2014年 第5問

座標平面上の曲線Cは媒介変数t(t≧0)を用いてx=t2+2t+log(t+1)，y=t2+2t-log(t+1)と表される．C上の点P(a,b)におけるCの接線の傾きが\frac{2e-1}{2e+1}であるとする．ただし，eは自然対数の底である．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)aとbの値を求めよ．
(2)Qを座標(b,a)の点とする．直線PQ，直線y=xと曲線Cで囲まれた図形を，直線y=xの周りに1回転してできる立体の体積を求めよ．

　国立 高知大学 2014年 第3問

関数f(x)を
f(x)={\begin{array}{ll}
1/2(x+1)x&(-1≦x≦0　のとき　)\
-1/2x(x-1)&(0＜x≦1　のとき　)\phantom{\frac{[]}{2}}
\end{array}.
とおくとき，次の問いに答えよ．
(1)f(x)はx=0で微分可能であることを示せ．
(2)関数y=f(x)のグラフをかけ．
(3)y=f´(x)のグラフを-1＜x＜1の範囲でかき，f´(x)がx=0で微分可能かどうかを理由をつけて述べよ．
(4)y=f(x)のグラフとx軸・・・

　国立 山口大学 2014年 第2問

図のように，円柱Eと直円錐Fが半径1の球に内接しており，さらにEとFの底面は一致している．このとき，次の問いに答えなさい．
（プレビューでは図は省略します）
(1)円柱Eの高さをhとするとき，円柱Eの底面の半径と直円錐Fの高さを，それぞれhを用いて表しなさい．
(2)半径1の球に内接する円柱の体積の最大値を求めなさい．
(3)円柱Eの体積と直円錐Fの体積が等しいとする．円柱Eから直円錐Fが重なっている部分をくり抜いたとき，くり抜かれて残った立体の体積を求めなさい．

　国立 島根大学 2014年 第3問

点(0,5)を通る直線ℓと楕円C:\frac{x2}{4}+\frac{y2}{9}=1を考える．このとき，次の問いに答えよ．
(1)楕円Cと共有点をもつ直線ℓの方程式をすべて求めよ．
(2)楕円Cと直線ℓが接するとき，その接点の座標を求めよ．
(3)楕円Cと直線ℓが第一象限で接するとき，Cとℓおよびy軸で囲まれた図形をy軸のまわりに1回転させてできる立体の体積Vを求めよ．

　国立 茨城大学 2014年 第4問

0でない実数tに対して，座標空間における3点P(t,0,0)，Q(t,\frac{1}{1+t2},0)，R(t,0,\frac{t}{1+t2})を考える．以下の各問に答えよ．
(1)三角形PQRの面積をS(t)とする．実数tが1/2≦t≦1の範囲を動くとき，S(t)の最大値とそのときのtの値を求めよ．
(2)実数tが1/2≦t≦1の範囲を動くとき，三角形PQRが通過してで・・・