「立体」について

　公立 岐阜薬科大学 2014年 第6問

曲線y=log(kx)をCとする．曲線C，原点Oを通る曲線Cの接線ℓ，x軸とで囲まれた図形をDとするとき，次の問いに答えよ．ただし，kは正の定数とする．
(1)接線ℓの方程式を求めよ．
(2)Dをx軸のまわりに1回転してできる立体の体積Vxを求めよ．
(3)Dをy軸のまわりに1回転してできる立体の体積Vyを求めよ．
(4)Vx=Vyとなるkの値を求めよ．

　公立 京都府立大学 2014年 第3問

区間-1≦x≦1で定義された連続関数f(x)を
12xf(x)+12∫0xf(t)dt=15x3|x|-16x3,f(0)=0
によって定める．曲線C:y=f(x)を考える．以下の問いに答えよ．
(1)f(x)を求めよ．
(2)f(x)はx=0で微分可能であることを示せ．
(3)曲線Cと直線ℓ:y=aとの区間-1≦x≦1における共有点の個数を，aの値によって分類せよ．
(4)曲線Cと3直線y=-1，x=-1，x=1で囲まれる部分を，x軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ．

　国立 大阪大学 2013年 第4問

xyz空間内の3点O(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)を頂点とする三角形OABをx軸のまわりに1回転させてできる円すいをVとする．円すいVをy軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ．

　国立 九州大学 2013年 第4問

原点Oを中心とし，点A(0,1)を通る円をSとする．点B(1/2,\frac{√3}{2})で円Sに内接する円Tが，点Cでy軸に接しているとき，以下の問いに答えよ．
(1)円Tの中心Dの座標と半径を求めよ．
(2)点Dを通りx軸に平行な直線をℓとする．円Sの短い方の弧\koa{AB}，円Tの短い方の弧\koa{BC}，および線分ACで囲まれた図形をℓのまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ．

　国立 名古屋工業大学 2013年 第2問

kを正の定数とする．2つの曲線
C1:y=cosx(0≦x≦π/2),C2:y=ktanx(0≦x＜π/2)
について，次の問いに答えよ．
(1)C1とC2の交点におけるそれぞれの曲線の接線をℓ1,ℓ2とする．直線ℓ1,ℓ2がなす角をθ(0≦θ≦π/2)とするとき，θの値を求めよ．
(2)k=3/2のとき，曲線C1,C2とy軸で囲まれる図形を・・・

　国立 富山大学 2013年 第1問

関数f(x)=x+2sinxを考える．このとき，次の問いに答えよ．
(1)y=f(x)(0≦x≦2π)の増減を調べ，そのグラフをかけ．
(2)0＜x＜2πにおいて関数f(x)が極値をとるときのxの値をα,β(0＜α＜β＜2π)とする．曲線y=f(x)のα≦x≦βの部分とx軸，および2直線x=α，x=βで囲まれた部分をx軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ．

　国立 富山大学 2013年 第3問

直線y=ax(a＞0)とx軸，および直線x=1で囲まれた部分をx軸の周りに1回転させてできる立体の体積をVとし，曲線y=x+sinx(0≦x≦2π)とx軸，および直線x=2πで囲まれた部分をx軸の周りに1回転させてできる立体の体積をWとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)Vをaを用いて表せ．
(2)0＜x≦2πにおいて，x+sinx＞0であることを示せ．
(3)Wの値を求めよ．
(4)V=Wのとき，aの値を求めよ．

　国立 岩手大学 2013年 第4問

実数a＞0とk＞0に対して2つの曲線
C1:y=ax2,C2:y=klogx(x＞0)
を考える．ここで，logxはxの自然対数とする．C1とC2がただ1点を共有し，その点における接線が一致するとき，次の問いに答えよ．
(1)共有点のx座標を求めよ．
(2)kをaを用いて表せ．
(3)k=2eのとき，C1，C2およびx軸で囲まれた部分をDとする．Dの面積Sを求めよ．ただし，eは自然対数の底とする．
(4)(3)のDをy軸のまわりに1回転してできる立体の体積Vを求めよ．

　国立 宮城教育大学 2013年 第5問

以下の問いに答えよ．
(1)a＞0のとき，
S(a)=∫0^{π/2}|sin2x-acosx|dx
とする．S(a)の最小値を求めよ．
(2)a＞2のとき，2曲線y=sin2x,y=acosx(0≦x≦π/2)とy軸で囲まれる図形を考える．この図形をx軸のまわりに1回転してできる立体の体積をaを用いて表せ．

　国立 秋田大学 2013年 第3問

関数f(x)=sinx+1/2sin2x(0≦x≦2π)について，次の問いに答えよ．
(1)f(x)の増減を調べ，最大値と最小値を求めよ．
(2)曲線y=f(x)とx軸で囲まれた図形を，x軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ．