「立体」について

　国立 東京大学 2013年 第6問

座標空間において，xy平面内で不等式|x|≦1，|y|≦1により定まる正方形Sの4つの頂点をA(-1,1,0)，B(1,1,0)，C(1,-1,0)，D(-1,-1,0)とする．正方形Sを，直線BDを軸として回転させてできる立体をV1，直線ACを軸として回転させてできる立体をV2とする．
(1)0≦t＜1を満たす実数tに対し，平面x=tによるV1の切り口の面積を求めよ．
(2)V1とV2の共通部分の体積を求めよ．

　私立 京都産業大学 2013年 第3問

xy平面上の曲線C1:y=xsinxと，傾きmの直線C2:y=mxについて，次の問いに答えよ．
(1)点(a,asina)におけるC1の接線の方程式を求めよ．
(2)C1とC2が0＜x＜πの範囲で接するmの値を求めよ．
(3)(2)のとき，C1を0≦x≦πに制限した曲線とC2とで囲まれた部分の面積を求めよ．
(4)(3)で得られた部分を，x軸のまわりに1回転して得られる立体の体積を求めよ．

　私立 学習院大学 2013年 第4問

次の問いに答えよ．
(1)x＞0のとき，1+2sinx＜x+exが成り立つことを示せ．
(2)x≧0の範囲にあって，2つの曲線y=1+2sinx,y=x+exと直線x=πとで囲まれる領域をx軸のまわりに1回転して得られる立体の体積を求めよ．

　私立 東京慈恵会医科大学 2013年 第3問

θは0≦θ≦πをみたす実数とする．xyz空間内の平面z=0上に2点
P_θ(cosθ,sinθ,0),Q_θ(2cosθ,2sinθ,0)
をとり，θを0≦θ≦πの範囲で動かすとき，線分P_θQ_θが通過する部分をDとする．空間内のz≧0の部分において，底面がD，P_θQ_θ上の各点での高さが2/πθの立体Kを考える．半球B:x2+y2+z2≦22，z・・・

　私立 金沢工業大学 2013年 第4問

関数f(x)=|x-1|√xを考える．
(1)関数f(x)はx=\frac{[ク]}{[ケ]}で極大値\frac{[コ]}{[サ]}\sqrt{[シ]}をとり，x=[ス]で極小値[セ]をとる．
(2)曲線y=f(x)とx軸によって囲まれた図形の面積は\frac{[ソ]}{[タ][チ]}である．
(3)曲線y=f(x)とx軸によって囲まれた図形をx軸のまわりに1回転させてできる立体の体積は\frac{[ツ]}{[テ][ト]}であ・・・

　私立 日本医科大学 2013年 第3問

次の各問いに答えよ．
(1)x≧1,k=0,1,2,・・・として
Ik(x)=∫\frac{(logx)k}{x2}dx
とおくとき，I0(x)を求め，I_{k+1}(x)をIk(x)を用いて表せ．またI4(x)を求めよ．
(2)x＞0で不等式logx≦3/ex^{1/3}が成り立つことを証明せよ．
(3)関数f(x)=\frac{(logx)2}{x}に関する以下の各問いに答えよ．
(i)y=f(x)(x≧1)の極値，極限\displ・・・

　公立 広島市立大学 2013年 第4問

曲線y=e^{2x}をCとする．Cの接線で原点を通るものをℓ1とし，Cとℓ1の接点PにおけるCの法線をℓ2とする．以下の問いに答えよ．
(1)直線ℓ1の方程式，および点Pの座標を求めよ．
(2)直線ℓ2の方程式，および直線ℓ2とy軸の交点Qの座標を求めよ．
(3)次の問いに答えよ．
(i)部分積分法を用いて不定積分∫logxdx，∫(logx)2dxを求めよ．
(ii)曲線・・・

　公立 京都府立大学 2013年 第3問

0≦a＜1とする．xy平面上の曲線Cをy=1+x\sqrt{1-x2}で，直線ℓをy=1+axで定める．Cとℓで囲まれた部分をx軸のまわりに1回転してできる立体の体積をaの関数と考えてV(a)とする．以下の問いに答えよ．
(1)-1≦x≦1とするとき，不等式2x\sqrt{1-x2}≧xを解け．
(2)V(a)をaを用いて多項式で表せ．
(3)Mn=1/2nΣ_{k=1}nV(k/2n)とするとき，\lim_{n→∞}Mnを求めよ．

　公立 和歌山県立医科大学 2013年 第1問

関数f(x)を，
f(x)={\begin{array}{ll}
2x+1&(0≦x＜π/2)\
2x+sinx&(x≧π/2)\phantom{\frac{[ア]}{2}}
\end{array}.
と定め，関数g(x)を，g(x)=f(2x)-2f(x)(0≦x≦2π)と定める．
(1)関数g(x)の最大値と最小値，およびそれらをとるxの値を求めよ．
(2)曲線C:y=g(x)の概形を描け．ただし，変曲点に留意しなくてよい．
(3)区間[0,2π]で，曲線Cとx軸の・・・

　公立 富山県立大学 2013年 第3問

x≧0とする．関数f(x)=e^{-2x3}，g(x)=xe^{-x3}について，次の問いに答えよ．ただし，\lim_{x→∞}g(x)=0は証明なしに用いてよい．
(1)導関数f´(x)を求めよ．
(2)y=g(x)の増減，極値および変曲点を調べて，そのグラフの概形をかけ．
(3)a≧0とし，曲線y=g(x)とx軸および2直線x=a，x=a+1で囲まれた部分を，x軸の周りに1回転させてできる立体の体積をV(a)とする．このとき，極限値\lim_{a→∞}e^{2a3}V(a)を求めよ．
\end・・・