「立体」について

　公立 岐阜薬科大学 2013年 第6問

空間内に3点P(t,0,2t\sqrt{1-t2})，Q(t,\sqrt{1-t2},0)，R(t,-\sqrt{1-t2},0)を考える．tが0から1まで動くとき，三角形PQRが通過してできる立体をKとする．
(1)三角形PQRの面積Sをtを用いて表せ．
(2)立体Kの体積V1を求めよ．
(3)立体Kをx軸のまわりに1回転してできる立体の体積V2を求めよ．

　公立 奈良県立医科大学 2013年 第10問

曲線y=loge(x+1)-1とx軸およびy軸で囲まれた図形を，y軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ．

　国立 東京大学 2012年 第3問

座標平面上で2つの不等式
y≧1/2x2,\frac{x2}{4}+4y2≦1/8
によって定まる領域をSとする．Sをx軸のまわりに回転してできる立体の体積をV1とし，y軸のまわりに回転してできる立体の体積をV2とする．
(1)V1とV2の値を求めよ．
(2)\frac{V2}{V1}の値と1の大小を判定せよ．

　国立 九州大学 2012年 第1問

円x2+(y-1)2=4で囲まれた図形をx軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ．

　国立 大阪大学 2012年 第3問

xyz空間に3点O(0,0,0)，A(1,0,1)，B(0,√3,1)がある．平面z=0に含まれ，中心がO，半径が1の円をWとする．点Pが線分OA上を，点Qが円Wの周および内部を動くとき，ベクトルOR=ベクトルOP+ベクトルOQをみたす点R全体がつくる立体をVAとおく．同様に点Pが線分OB上を，点Qが円Wの周および内部を動くとき，ベクトルOR=ベクトルOP+ベクトルOQをみたす点R全体がつくる立体をVBとおく．さらにVAとVBの重なり合う部分をVとする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)平面z・・・

　国立 岡山大学 2012年 第3問

aを正の定数とし，座標平面上の2曲線C1:y=e^{x2},C2:y=ax2を考える．このとき以下の問いに答えよ．ただし必要ならば\lim_{t→+∞}\frac{et}{t}=+∞であることを用いてもよい．
(1)t＞0の範囲で，関数f(t)=\frac{et}{t}の最小値を求めよ．
(2)2曲線C1,C2の共有点の個数を求めよ．
(3)C1,C2の共有点の個数が2のとき，これらの2曲線で囲まれた領域をy軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ．

　国立 埼玉大学 2012年 第3問

xy平面上に曲線C:y=x2-xと直線ℓ:y=xがある．
(1)ℓ上の点P(\frac{t}{√2},\frac{t}{√2})(0≦t≦2√2)を通り，ℓと垂直な直線をmとする．mとCの共有点のうち，x座標が0以上のものをQとする．Qの座標を求めよ．
(2)0≦t≦2√2のとき，線分PQの長さの最大値とそのときのtを求めよ．
(3)Cとℓで囲まれた部分をℓを軸として1回転してできる立体の体積を求めよ．
\・・・

　国立 信州大学 2012年 第2問

f(x)=\frac{x+√3}{\sqrt{x2+1}}について，次の問に答えよ．
(1)y=f(x)の増減，極値，凹凸を調べ，グラフの概形をかけ．ただし，変曲点のy座標は求めなくてよい．
(2)y=f(x)とx軸およびy軸とで囲まれる図形をx軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．

　国立 筑波大学 2012年 第3問

曲線C:y=logx(x＞0)を考える．自然数nに対して，曲線C上に点P(en,n)，Q(e^{2n},2n)をとり，x軸上に点A(en,0)，B(e^{2n},0)をとる．四角形APQBをx軸のまわりに1回転させてできる立体の体積をV(n)とする．また，線分PQと曲線Cで囲まれる部分をx軸のまわりに1回転させてできる立体の体積をS(n)とする．
(1)V(n)をnの式で表せ．
(2)\lim_{n→∞}\frac{S(n)}{V(n)}を求めよ．

　国立 東京医科歯科大学 2012年 第2問

a2+b2=1を満たす正の実数a,bの組(a,b)の全体をSとする．Sに含まれる(a,b)に対し，xyz空間内に3点P(a,b,b)，Q(-a,b,b)，R(0,0,b)をとる．また原点をOとする．このとき以下の各問いに答えよ．
(1)三角形OPQをx軸のまわりに1回転してできる立体をF1とする．(a,b)がSの中を動くとき，F1の体積の最大値を求めよ．
(2)三角形PQRをx軸のまわりに1回転してできる立体をF2とする．a=b=\frac{1}{√2}のとき，F2のxy平面による切り口の周をx・・・