「立方体」について

　国立 信州大学 2012年 第1問

下図のように，x軸，y軸，z軸上に辺があり，一辺の長さが3である立方体がある．点A(0,0,3)，B(3,0,2)，C(3,3,1)を通る平面で立方体を切断したときの切り口を四角形ABCDとする．このとき，次の問に答えよ．
\begin{center}
\setlength\unitlength{1truecm}
\begin{picture}(10,9)(0,0)
\put(3,3){\vector(0,1){5}}
\put(3,3){\vector(-1,-1){2.5}}
\put(3,3){\vector(1,0){6}}
\put(2,2){\line(1,0){4}}
\put(2,5.5){\line(1,0){4}}
\put(2,2){\line(0,1){3.5}}
\put(6,2){\line(0,1){3.5}}
\put(2,5.5){\line(1,1){1}}
・・・

　国立 群馬大学 2012年 第2問

Aを一辺が1の立方体の積み木とし，Bを縦が1，横が1，高さが2の直方体の積み木とする．A，Bは十分たくさんあるとして，これらを積み上げて高さnの塔（縦が1，横が1，高さがnの直方体，ただしnは自然数とする）を作るとき，積み上げ方の場合の数をanとする．以下の問いに答えよ．
(1)a1,a2,a3の値を求めよ．
(2)高さnの塔を作るとき，Bをちょうどk個(　ただし　0≦k≦n/2)使うときの積み上・・・

　国立 群馬大学 2012年 第2問

Aを一辺が1の立方体の積み木とし，Bを縦が1，横が1，高さが2の直方体の積み木とする．A，Bは十分たくさんあるとして，これらを積み上げて高さnの塔（縦が1，横が1，高さがnの直方体，ただしnは自然数とする）を作るとき，積み上げ方の場合の数をanとする．以下の問いに答えよ．
(1)a1,a2,a3の値を求めよ．
(2)高さnの塔を作るとき，Bをちょうどk個(　ただし　0≦k≦n/2)使うときの積み上・・・

　国立 群馬大学 2012年 第1問

Aを一辺が1の立方体の積み木とし，Bを縦が1，横が1，高さが2の直方体の積み木とする．A，Bは十分たくさんあるとして，これらを積み上げて高さnの塔（縦が1，横が1，高さがnの直方体，ただしnは自然数とする）を作るとき，積み上げ方の場合の数をanとする．以下の問いに答えよ．
(1)a1,a2,a3の値を求めよ．
(2)高さnの塔を作るとき，Bをちょうどk個(　ただし　0≦k≦n/2)使うときの積み上・・・

　国立 群馬大学 2012年 第2問

Aを一辺が1の立方体の積み木とし，Bを縦が1，横が1，高さが2の直方体の積み木とする．A，Bは十分たくさんあるとして，これらを積み上げて高さnの塔（縦が1，横が1，高さがnの直方体，ただしnは自然数とする）を作るとき，積み上げ方の場合の数をanとする．以下の問いに答えよ．
(1)a1,a2,a3の値を求めよ．
(2)高さnの塔を作るとき，Bをちょうどk個(　ただし　0≦k≦n/2)使うときの積み上・・・

　国立 愛媛大学 2012年 第4問

図のような1辺の長さを1とする立方体ABCD-EFGHを考える．\\
線分AHと線分EDの交点をKとする．さらに，辺CGを3:1\\
に内分する点をLとし，辺EFをp:1-pに内分する点をMと\\
する．ただし，0＜p＜1である．また，ベクトルa=ベクトルEF，ベクトルb=ベクトルEH，\\
ベクトルc=ベクトルEAとおく．
\img{669287220121}{38}
(1)ベクトルKLおよびベクトルKMをそれぞれベクトルa,ベクトルb,ベクトルcを用いて表せ．
(2)・・・

　私立 法政大学 2012年 第4問

(経営学部III)および(人間環境学部III)\\
1辺の長さが1の立方体ABCD-EFGHにおいて，2辺DH，GHの中点をそれぞれM，Nとおく．さらに，3つの線分AC，AM，ANが平面BDEと交わる点をそれぞれP，Q，Rとおく．
(1)ベクトルベクトルAQをベクトルAB,ベクトルAD,ベクトルAEで表せ．
(2)ベクトルベクトルARをベクトルAB,ベクトルAD,ベクトルAEで表せ．
(3)三角形PQRの面積を求めよ．

　私立 近畿大学 2012年 第3問

下図の立方体ABCD-EFGHの1辺の長さは1である．線分AHの中点をP，線分HCを1:2に内分する点をQとする．また，ベクトルAB=ベクトルa，ベクトルAD=ベクトルb，ベクトルAE=ベクトルcとおく．
（プレビューでは図は省略します）
(1)ベクトルPQ=\frac{[ア]}{[イ]}ベクトルa+\frac{[ウ]}{[エ]}ベクトルb+\frac{[オ]}{[カ]}ベクトルcである．
(2)線分CGを3:1に内分する点をRとする．・・・

　国立 島根大学 2011年 第2問

半径1の球をO1とし，球O1に内接する立方体をB1とする．次に立方体B1に内接する球をO2とし，球O2に内接する立方体をB2とする．以下この操作を繰り返してできる球をOn，立方体をBn(n=3,4,・・・)とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)立方体B1の1辺の長さl1を求めよ．
(2)球Onの半径rnをnを用いて表せ．
(3)球Onの体積をVnとし，Sk=V1+V2+・・・+Vkとするとき，\display・・・

　国立 島根大学 2011年 第2問

半径1の球をO1とし，球O1に内接する立方体をB1とする．次に立方体B1に内接する球をO2とし，球O2に内接する立方体をB2とする．以下この操作を繰り返してできる球をOn，立方体をBn(n=3,4,・・・)とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)立方体B1の1辺の長さl1を求めよ．
(2)球Onの半径rnをnを用いて表せ．
(3)球Onの体積をVnとし，Sk=V1+V2+・・・+Vkとするとき，\lim_{k→∞}Skを求めよ．