「立方体」について

　国立 京都教育大学 2011年 第3問

立方体ABCD-EFGHの各辺の中点を，図1のようにI，J，・・・，\\
S，Tとする．
\img{473127920111}{15}

(1)ベクトルLM,ベクトルLKを使ってベクトルLQ,ベクトルLR,ベクトルLOをそれぞれ表せ．
(2)ベクトルLMとベクトルLKのなす角を求めよ．
(3)点M,L,Kを通る平面による立方体ABCD-EFGHの切り口は，正六角形であることを示せ．

　私立 早稲田大学 2011年 第1問

次の[]にあてはまる数または数式を解答用紙の所定欄に記入せよ．
(1)平面上の3点A，B，Cが点Oを中心とする半径1の円周上にあり，
3ベクトルOA+7ベクトルOB+5ベクトルOC=ベクトル0
を満たしている．このとき線分ABの長さは[ア]である．
(2)xy平面上の曲線y=exとy軸および直線y=eで囲まれた図形をy軸のまわりに1回転してできる回転体の体積は[イ]である．
(3)碁石をn個一列に並べる並べ方のうち，黒石が先頭で白石どうしは隣り合わ・・・

　私立 上智大学 2011年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)立方体の各面に1～6の目が1つずつ書かれたサイコロを2つ振って，出た目の大きくない方をxとする．x=2である確率は\frac{[ア]}{[イ]}である．xの期待値は\frac{[ウ]}{[エ]}である．
(2)A=(\begin{array}{cc}
5&11\
3&7
\end{array})とする．行列Aが表す1次変換により，点(3,-2)は点([オ],[カ])に移り，点([キ],[ク])は点(3,1)に移る．
(3)f(x)=x3・・・

　国立 京都大学 2010年 第6問

座標空間内で，O(0,0,0)，A(1,1,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,1)，E(1,0,1)，F(1,1,1)，G(0,0,1)を頂点にもつ立方体を考える．この立方体を対角線OFを軸にして回転させて得られる回転体の体積を求めよ．

　国立 京都大学 2010年 第5問

座標空間内で，O(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,1)，E(1,0,1)，F(1,1,1)，G(0,1,1)を頂点にもつ立方体を考える．
(1)頂点Aから対角線OFに下ろした垂線の長さを求めよ．
(2)この立方体を対角線OFを軸にして回転させて得られる回転体の体積を求めよ．

　国立 静岡大学 2010年 第3問

xyz座標空間に，下図のように一辺の長さ1の立方体OABC-DEFGがある．この立方体をxy平面上の直線y=-xのまわりに，頂点Fがz軸の正の部分にくるまで回転させる．このとき，次の問いに答えよ．
(1)回転後の頂点Bの座標を求めよ．
(2)回転後の頂点A，Gで定まるベクトルベクトルAGの成分を求めよ．
\setlength\unitlength{1truecm}
\begin{center}
\begin{picture}(6,6)(0,0)
\put(0.5,4){\line(1,0){3.5}}
\put(0.5,4){\line(0,-1){3.5}}
\put(4,0.5){\line(-1,0){3.5}}
\put(4,0.5){\line(0,1){3.・・・

　国立 大阪大学 2010年 第5問

nを0以上の整数とする．立方体ABCD-EFGHの頂点を，以下のように移動する2つの動点P，Qを考える．時刻0にはPは頂点Aに位置し，Qは頂点Cに位置している．時刻nにおいて，PとQが異なる頂点に位置していれば，時刻n+1には，Pは時刻nに位置していた頂点から，それに隣接する3頂点のいずれかに等しい確率で移り，Qも時刻nに位置していた頂点から，それに隣接する3頂点のいずれかに等しい確率で移る．一方，時刻nにおいて，\・・・

　国立 富山大学 2010年 第2問

xyz空間内の6つの平面x=0,x=1,y=0,y=1,z=0,z=1によって囲まれた立方体をPとおく．Pをx軸のまわりに1回転してできる立体をPxとし，Pをy軸のまわりに1回転してできる立体をPyとする．さらに，PxとPyの少なくとも一方に属する点全体でできる立体をQとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)Qと平面z=tが交わっているとする．このとき，Pxを平面z=tで切ったときの切り口をRxとし，Pyを平面z=tで切ったときの切り口をRyとする．Rxの面積，Ryの面積，およびR_・・・

　国立 富山大学 2010年 第3問

xyz空間内の6つの平面x=0,x=1,y=0,y=1,z=0,z=1によって囲まれた立方体をPとおく．Pをx軸のまわりに1回転してできる立体をPxとし，Pをy軸のまわりに1回転してできる立体をPyとする．さらに，PxとPyの少なくとも一方に属する点全体でできる立体をQとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)Qと平面z=tが交わっているとする．このとき，Pxを平面z=tで切ったときの切り口をRxとし，Pyを平面z=tで切ったときの切り口をRyとする．Rxの面積，Ryの面積，およびR_・・・

　国立 東京医科歯科大学 2010年 第2問

座標空間において，8点O(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，D(0,1,1)，E(1,0,1)，F(1,1,0)，G(1,1,1)をとり，この8点を頂点とする立方体をQとする．また点P(x,y,z)と正の実数tに対し，6点(x+t,y,z)，(x-t,y,z)，(x,y+t,z)，(x,y-t,z)，(x,y,z+t)，(x,y,z-t)を頂点とする正八面体をαt(P)，その外部の領域をβt(P)で表す．ただし，立方体および正八・・・