「立方体」について

　国立 東京医科歯科大学 2010年 第2問

座標空間において，8点O(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，D(0,1,1)，E(1,0,1)，F(1,1,0)，G(1,1,1)をとり，この8点を頂点とする立方体をQとする．また点P(x,y,z)と正の実数tに対し，6点(x+t,y,z)，(x-t,y,z)，(x,y+t,z)，(x,y-t,z)，(x,y,z+t)，(x,y,z-t)を頂点とする正八面体をαt(　P　)，その外部の領域をβt(　P　)で表す．ただし，立方体および正八面体は内部の領域も含むものとする．このとき以下の問いに答え・・・

　国立 東京学芸大学 2010年 第3問

図のような1辺の長さaの立方体ABCD-EFGHがある．線分AF，BG，CH，DE上にそれぞれ動点P，Q，R，Sがあり，頂点A，B，C，Dを同時に出発して同じ速さで頂点F，G，H，Eまで動く．このとき，四角形PQRSが通過してできる立体の体積を求めよ．
（プレビューでは図は省略します）

　国立 群馬大学 2010年 第4問

各点の座標が(x,y,z)で表される空間で，ある立方体の3頂点がA(2,2,3)，B(2,0,1)，C(6,0,1)であるとする．
(1)2頂点A，Cを通る直線とxy平面の交点をPとするとき，線分APの長さを求めよ．
(2)この立方体の体積を求めよ．
(3)この立方体の頂点Xで，∠　BXC　=60°となるものすべてについてそれらの座標を求めよ．

　私立 北海学園大学 2010年 第2問

図のように立方体の隣接する3つの面ABCD，BEFC，CFGD上にそれぞれ縦横等間隔の線を描き，その線の上を通ることができるとする．次のそれぞれの場合に最短距離で通る道順は何通りあるかを求めよ．
（プレビューでは図は省略します）
(1)面ABCD上でAからCへ行く場合．
(2)面ABCD，BEFC上でAからFへ行く場合．
(3)面ABCD，BEFC，CFGD上でAからFへ行く場合．

　公立 名古屋市立大学 2010年 第3問

同じ大きさの立方体を12個積んでできた直方体を図に示す．頂点A\
から頂点Bまで立方体の辺を通って最短距離で進むものとする．\
次の問いに答えよ．
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(1)進み方は全部で何通りあるか．
(2)直方体の内部を少なくとも一度は通る進み方は何通りあるか．
(3)頂点P，Q，Rのいずれも通らない進み方は何通りあるか．