「等比数列」について

　公立 大阪府立大学 2014年 第6問

数列{an}の初項a1から第n項anまでの和Snが
Sn=2an+n2-n(n=1,2,3,・・・)
をみたすとする．
(1)a1とa2を求めよ．
(2)a_{n+1}-2anをnの式で表せ．
(3)bn=a_{n+1}-an-2(n=1,2,3,・・・)とおくと，数列{bn}は等比数列となることを示し，初項b1と公比を求めよ．
(4)anをnの式で表せ．

　公立 北九州市立大学 2014年 第2問

以下の問いの空欄[タ]～[ノ]に適する数値，式を記せ．
(1)iを虚数単位として，等式(2+i)(x-3yi)=1-iを満たす実数xおよびyの値を求めるとx=[タ]，y=[チ]となる．
(2)平面上に2点A(-1,1)，B(3,-1)と直線x-2y-2=0がある．この直線上に点Pをとるとき，AP+BPを最小にする点Pの座標は([ツ],[テ])となる．
(3)0≦θ＜2πの条件で，関数y=cos2θ-4sinθの最大値と最小値を求めると・・・

　公立 県立広島大学 2014年 第3問

初項3，公比2の等比数列を{an}とし，
Sn=Σ_{i=1}n(log_{ai}2)・(log_{a_{i+1}}2)(n=1,2,3,・・・)
とする．次の問いに答えよ．
(1)数列{an}の一般項を求めよ．
(2)\frac{1}{x(x+1)}=A/x+\frac{B}{x+1}がxについての恒等式になる定数A,Bを求めよ．
(3)Sn＜log32となることを示せ．
(4)|Sn-log32|＜\frac{1}{1000}となる最小のnを求めよ．

　国立 埼玉大学 2013年 第2問

すべての項が整数である数列を整数列と呼ぶ．
(1)整数列{αn},{βn}を次で定める．
(5+2√6)n=αn+√6βnn=1,2,・・・
(i)数列γn=αn-√6βnは等比数列になることを示し，その一般項を求めよ．
(ii)一般項αn,βnを求めよ．
(2)整数列{an},{bn},{cn},{dn}を次で定める．
(√2+√3)n=an+√2bn+√3cn+\sqrt{6・・・

　私立 北海学園大学 2013年 第5問

公比が1より大きい等比数列{an}の，初項から第n項までの和をSnとする．また，数列{bn}は，初項が3でb_{n+1}-bn=anを満たす．a2=18，S3=78であるとき，次の問いに答えよ．ただし，n=1,2,3,・・・とする．
(1)数列{an}の一般項を求めよ．
(2)Σ_{k=1}nkakを求めよ．
(3)Σ_{k=1}nk2bkを求めよ．

　私立 南山大学 2013年 第1問

[]の中に答を入れよ．
(1)xの整式x3+3mx2+2(m2-1)x-4が(x+2)2で割り切れるとする．このとき，mの値はm=[ア]であり，商は[イ]である．
(2)行列A=(\begin{array}{cc}
x+1&2\
-5&y-2
\end{array})がある．A2=(\begin{array}{cc}
1&0\
0&1
\end{array})を満たすとき，xとyの値を求めると(x,y)=[ウ]である．また，Aが逆行列をもたないような2つの正の整数xとyの値を求めると(x,y)=[エ]で・・・

　私立 福岡大学 2013年 第3問

第2項が3/4，第5項が48であるような等比数列の一般項を求めるとan=[]である．また，初項から第n項までの和をSnとするとき，16Sn+1≧10000となる最小の整数nを求めるとn=[]である．

　私立 東北工業大学 2013年 第2問

次の問いに答えよ．
(1)1,2,3,4,5の中から異なる3個の数字を用いて3けたの整数をつくるとき，300以上の整数は[][]個できる．
(2)2個のさいころを同時に投げるとき，目の和が8以上になる確率は\frac{[][]}{12}である．
(3)第2項が10，第7項が320である等比数列がある．この数列の公比は[][]であり，第5項は[][]である．
(4)2つのベクトルベクトルa=(√6-√2,√6+√2)，ベクトルb=(√3,・・・

　私立 大阪工業大学 2013年 第3問

次の空所を埋めよ．
数列{an}がa1=2，a_{n+1}=3an-2(n=1,2,3,・・・)を満たすとき，{an}の一般項を次のようにして求めよう．
まず，a2=[ア]であり，さらに，a_{n+2}=3a_{n+1}-2より
a_{n+2}-a_{n+1}=[イ]×(a_{n+1}-an)
が成り立つ．したがって，bn=a_{n+1}-anとおくと，数列{bn}は初項[ウ]，公比[エ]の等比数列になり，一般項はbn=[オ]である．
よって，数列{an}の一般項はan=[カ]である．・・・

　私立 広島工業大学 2013年 第2問

数列{an}の初項から第n項までの和SnがSn=4an-nを満たしている．
(1)a1を求めよ．
(2)a_{n+1}をanを用いて表せ．
(3)bn=an+cとおくとき，{bn}が等比数列になるように定数cの値を決めよ．
(4){an}の一般項を求めよ．