「等比数列」について

　私立 金沢工業大学 2010年 第6問

数列{an}を初項1，公差1/2の等差数列，{bn}を初項2，公比1/2の等比数列とし，{cn}をc1=3，c_{n+1}-cn=n+1で定まる数列とする．また，Oを原点とする座標空間の点(an,bn,cn)をPnとする．
(1)\overrightarrow{OPn}=(\frac{[キ]}{[ク]}(n+[ケ]),2^{[コ]-n},\frac{[サ]}{[シ]}(n2+n+[ス]))である．
(2)\displaystyl・・・

　私立 早稲田大学 2010年 第2問

次の問いに答えよ．
(1)自然数nがn=p2q（p,qは素数，p≠q）の形で表されるとき，nの正の約数は6個あり，それらの和は
([ク]+p+p2)([ケ]+q)
と表すことができる．このようなnで正の約数の和が2nとなるような数を求める．正の約数の和が2nであるから，
2p2q=([ク]+p+p2)([ケ]+q)
が成り立つ．[ク]+p+p2は奇数であり，pの倍数ではないから，[ケ]+qは2p2の倍数となり，
[ケ]+q=2p2k(k　は自然数　)
とおける．・・・

　私立 東京電機大学 2010年 第1問

次の各問に答えよ．
(1)3つの数a,a+6,2a+17がこの順に等比数列となるようなaの値をすべて求めよ．
(2)不等式(1/2)^{1-x2}＜(2√2)^{x-1}をみたすxの範囲を求めよ．
(3)方程式sin2x+2cos2x+3cosx+1=0(0≦x＜2π)をみたすxを求めよ．
(4)無限級数1/2+5/3+\frac{1}{22}+\frac{5}{32}+\frac{1}{23}+\frac{5}{33}+・・・の和を求めよ．
(5)定積分∫0^{π/2}(2x+1)\s・・・

　私立 東京電機大学 2010年 第4問

次の各問に答えよ．
(1)3つの数a,a+6,2a+17がこの順に等比数列となるようなaの値をすべて求めよ．
(2)不等式(1/2)^{1-x2}＜(2√2)^{x-1}をみたすxの範囲を求めよ．
(3)方程式sin2x+2cos2x+3cosx+1=0(0≦x＜2π)をみたすxを求めよ．
(4)曲線y=x3-3x2+kがx軸と異なる3点で交わるような定数kの値の範囲を求めよ．
(5)定積分∫_{-2}2|x-1|(3x+1)dxを求めよ．

　私立 中央大学 2010年 第1問

次の問いの答を記入せよ．
(1)|ベクトルa|=3，|ベクトルb|=4，|ベクトルa+ベクトルb|=6のとき，|ベクトルa-ベクトルb|の値を求めよ．
(2)定義域が0≦x≦3である2次関数y=-ax2+2ax+bの最大値が3で，最小値が-5であるとき，定数a,bの値を求めよ．ただしa＞0とする．
(3)cosθ=-\frac{√3}{2}を満たす角θを求めよ．ただし，0°≦θ≦{180}°とする．
(4)3つの数x-2,x+1,x+7がこの順で等比数列となるとき，・・・

　私立 聖マリアンナ医科大学 2010年 第3問

数列{an}に対して，
bn=\frac{a1+a2+・・・+an}{n},cn=\frac{a1+2a2+・・・+nan}{n}(n=1,2,3,・・・)
とおく．このとき下記の問いに答えなさい．
(1)数列{an}が，初項1，公比2の等比数列のとき，数列{an}の一般項は，an=[1]である．
数列{bn}の一般項は，bn=[2]であり，数列{cn}の一般項は，cn=[3]である．
(2)数列{bn}が，初項1，公差2の等差数列のとき，数列{bn}の一般項は，bn=[4]・・・

　私立 早稲田大学 2010年 第1問

次の各問に答えよ．
(1)異なる3個のサイコロを同時に投げたとき，目の和が5の倍数になる場合は[ア]通りである．
(2)数列{an}は，初項が2，公差が5の等差数列であり，数列{bn}は，初項が1，公比が3の等比数列である．このとき
a1b1+a2b2+・・・+anbn=\frac{[イ]+([ウ]n+[エ])3n}{[オ]}
である．ただし，[オ]はできる限り小さい自然数で答えること．

　公立 大阪市立大学 2010年 第1問

正の実数からなる2つの数列{an}と{bn}は，n≧3について
an=\frac{a_{n-1}+a_{n-2}}{2},bn=\sqrt{b_{n-1}b_{n-2}}
をみたすものとする．次の問いに答えよ．
(1){an}の階差数列を{cn}とすると，{cn}は等比数列になることを示し，その公比を求めよ．
(2)n≧3についてanをa1,a2,nを用いて表せ．
(3)b1=1,b2=2のとき，n≧3についてlog2bnをnを用いて表せ．